Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16770 / 16774
↖ ↑ ↗
← S  4.280680°
E  4.240722°		 ← 1 218.23 m → S  4.280680°
E  4.251709°		 →
↑
1 218.20 m
↓
↑
1 218.20 m
↓
S  4.291636°
E  4.240722°		 ← 1 218.21 m →
1 484 037 m²		 S  4.291636°
E  4.251709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511795043945312 y=0.511917114257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511795043945312 × 215)
    floor (0.511795043945312 × 32768)
    floor (16770.5)     		tx = 16770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511917114257812 × 215)
    floor (0.511917114257812 × 32768)
    floor (16774.5)     		ty = 16774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16770 / 16774 ti = "15/16770/16774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16770/16774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16770 ÷ 215
    16770 ÷ 32768     		x = 0.51177978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16774 ÷ 215
    16774 ÷ 32768     		y = 0.51190185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51177978515625 × 2 - 1) × π
    0.0235595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07401457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51190185546875 × 2 - 1) × π
    -0.0238037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0747815634072876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07401457} λ = 0.07401457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0747815634072876))-π/2
    2×atan(0.927946161589658)-π/2
    2×0.748042183017419-π/2
    1.49608436603484-1.57079632675     		φ = -0.07471196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07401457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.240722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07471196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.280680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16770 KachelY 16774 0.07401457 -0.07471196 4.240722 -4.280680
    Oben rechts KachelX + 1 16771 KachelY 16774 0.07420632 -0.07471196 4.251709 -4.280680
    Unten links KachelX 16770 KachelY + 1 16775 0.07401457 -0.07490317 4.240722 -4.291636
    Unten rechts KachelX + 1 16771 KachelY + 1 16775 0.07420632 -0.07490317 4.251709 -4.291636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07471196--0.07490317) × R
    0.000191210000000011 × 6371000     		dl = 1218.19891000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07471196--0.07490317) × R
    0.000191210000000011 × 6371000     		dr = 1218.19891000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07401457-0.07420632) × cos(-0.07471196) × R
    0.000191750000000004 × 0.997210359497889 × 6371000     		do = 1218.23131566926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07401457-0.07420632) × cos(-0.07490317) × R
    0.000191750000000004 × 0.997196068880906 × 6371000     		du = 1218.21385769065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07471196)-sin(-0.07490317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997210359497889-0.997196068880906)×R²
    abs(0.07420632-0.07401457)×1.42906169833257e-05×R²
    0.000191750000000004×1.42906169833257e-05×6371000²
    0.000191750000000004×1.42906169833257e-05×40589641000000     		ar = 1484037.43175249m²