Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16766 / 16772
↖ ↑ ↗
← S  4.258768°
E  4.196777°		 ← 1 218.27 m → S  4.258768°
E  4.207764°		 →
↑
1 218.26 m
↓
↑
1 218.26 m
↓
S  4.269724°
E  4.196777°		 ← 1 218.25 m →
1 484 157 m²		 S  4.269724°
E  4.207764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511672973632812 y=0.511856079101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511672973632812 × 215)
    floor (0.511672973632812 × 32768)
    floor (16766.5)     		tx = 16766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511856079101562 × 215)
    floor (0.511856079101562 × 32768)
    floor (16772.5)     		ty = 16772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16766 / 16772 ti = "15/16766/16772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16766/16772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16766 ÷ 215
    16766 ÷ 32768     		x = 0.51165771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16772 ÷ 215
    16772 ÷ 32768     		y = 0.5118408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51165771484375 × 2 - 1) × π
    0.0233154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.07324758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5118408203125 × 2 - 1) × π
    -0.023681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0743980682103272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07324758} λ = 0.07324758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0743980682103272))-π/2
    2×atan(0.928302092730245)-π/2
    2×0.748233398441121-π/2
    1.49646679688224-1.57079632675     		φ = -0.07432953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07324758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.196777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07432953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.258768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16766 KachelY 16772 0.07324758 -0.07432953 4.196777 -4.258768
    Oben rechts KachelX + 1 16767 KachelY 16772 0.07343933 -0.07432953 4.207764 -4.258768
    Unten links KachelX 16766 KachelY + 1 16773 0.07324758 -0.07452075 4.196777 -4.269724
    Unten rechts KachelX + 1 16767 KachelY + 1 16773 0.07343933 -0.07452075 4.207764 -4.269724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07432953--0.07452075) × R
    0.000191219999999992 × 6371000     		dl = 1218.26261999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07432953--0.07452075) × R
    0.000191219999999992 × 6371000     		dr = 1218.26261999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07324758-0.07343933) × cos(-0.07432953) × R
    0.000191749999999991 × 0.997238832096132 × 6371000     		do = 1218.26609891273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07324758-0.07343933) × cos(-0.07452075) × R
    0.000191749999999991 × 0.997224613655601 × 6371000     		du = 1218.24872910771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07432953)-sin(-0.07452075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997238832096132-0.997224613655601)×R²
    abs(0.07343933-0.07324758)×1.42184405308443e-05×R²
    0.000191749999999991×1.42184405308443e-05×6371000²
    0.000191749999999991×1.42184405308443e-05×40589641000000     		ar = 1484157.47354879m²