Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16766 / 16764
↖ ↑ ↗
← S  4.171116°
E  4.196777°		 ← 1 218.40 m → S  4.171116°
E  4.207764°		 →
↑
1 218.39 m
↓
↑
1 218.39 m
↓
S  4.182073°
E  4.196777°		 ← 1 218.39 m →
1 484 480 m²		 S  4.182073°
E  4.207764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511672973632812 y=0.511611938476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511672973632812 × 215)
    floor (0.511672973632812 × 32768)
    floor (16766.5)     		tx = 16766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511611938476562 × 215)
    floor (0.511611938476562 × 32768)
    floor (16764.5)     		ty = 16764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16766 / 16764 ti = "15/16766/16764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16766/16764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16766 ÷ 215
    16766 ÷ 32768     		x = 0.51165771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16764 ÷ 215
    16764 ÷ 32768     		y = 0.5115966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51165771484375 × 2 - 1) × π
    0.0233154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.07324758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5115966796875 × 2 - 1) × π
    -0.023193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0728640874224853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07324758} λ = 0.07324758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0728640874224853))-π/2
    2×atan(0.92972718305695)-π/2
    2×0.748998314314358-π/2
    1.49799662862872-1.57079632675     		φ = -0.07279970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07324758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.196777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07279970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.171116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16766 KachelY 16764 0.07324758 -0.07279970 4.196777 -4.171116
    Oben rechts KachelX + 1 16767 KachelY 16764 0.07343933 -0.07279970 4.207764 -4.171116
    Unten links KachelX 16766 KachelY + 1 16765 0.07324758 -0.07299094 4.196777 -4.182073
    Unten rechts KachelX + 1 16767 KachelY + 1 16765 0.07343933 -0.07299094 4.207764 -4.182073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07279970--0.07299094) × R
    0.000191240000000009 × 6371000     		dl = 1218.39004000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07279970--0.07299094) × R
    0.000191240000000009 × 6371000     		dr = 1218.39004000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07324758-0.07343933) × cos(-0.07279970) × R
    0.000191749999999991 × 0.997351271959935 × 6371000     		do = 1218.40345986362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07324758-0.07343933) × cos(-0.07299094) × R
    0.000191749999999991 × 0.997337343801684 × 6371000     		du = 1218.38644467882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07279970)-sin(-0.07299094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997351271959935-0.997337343801684)×R²
    abs(0.07343933-0.07324758)×1.39281582509643e-05×R²
    0.000191749999999991×1.39281582509643e-05×6371000²
    0.000191749999999991×1.39281582509643e-05×40589641000000     		ar = 1484480.27915796m²