Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16765 / 16766
↖ ↑ ↗
← S  4.193029°
E  4.185791°		 ← 1 218.31 m → S  4.193029°
E  4.196777°		 →
↑
1 218.39 m
↓
↑
1 218.39 m
↓
S  4.203987°
E  4.185791°		 ← 1 218.29 m →
1 484 361 m²		 S  4.203987°
E  4.196777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511642456054688 y=0.511672973632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511642456054688 × 215)
    floor (0.511642456054688 × 32768)
    floor (16765.5)     		tx = 16765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511672973632812 × 215)
    floor (0.511672973632812 × 32768)
    floor (16766.5)     		ty = 16766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16765 / 16766 ti = "15/16765/16766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16765/16766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16765 ÷ 215
    16765 ÷ 32768     		x = 0.511627197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16766 ÷ 215
    16766 ÷ 32768     		y = 0.51165771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511627197265625 × 2 - 1) × π
    0.02325439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07305584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51165771484375 × 2 - 1) × π
    -0.0233154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0732475826194458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07305584} λ = 0.07305584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0732475826194458))-π/2
    2×atan(0.929370705505847)-π/2
    2×0.74880707727492-π/2
    1.49761415454984-1.57079632675     		φ = -0.07318217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07305584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.185791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07318217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.193029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16765 KachelY 16766 0.07305584 -0.07318217 4.185791 -4.193029
    Oben rechts KachelX + 1 16766 KachelY 16766 0.07324758 -0.07318217 4.196777 -4.193029
    Unten links KachelX 16765 KachelY + 1 16767 0.07305584 -0.07337341 4.185791 -4.203987
    Unten rechts KachelX + 1 16766 KachelY + 1 16767 0.07324758 -0.07337341 4.196777 -4.203987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07318217--0.07337341) × R
    0.000191239999999995 × 6371000     		dl = 1218.39003999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07318217--0.07337341) × R
    0.000191239999999995 × 6371000     		dr = 1218.39003999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07305584-0.07324758) × cos(-0.07318217) × R
    0.00019174000000001 × 0.997323379899244 × 6371000     		do = 1218.30584635511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07305584-0.07324758) × cos(-0.07337341) × R
    0.00019174000000001 × 0.997309378792698 × 6371000     		du = 1218.28874294582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07318217)-sin(-0.07337341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997323379899244-0.997309378792698)×R²
    abs(0.07324758-0.07305584)×1.40011065467016e-05×R²
    0.00019174000000001×1.40011065467016e-05×6371000²
    0.00019174000000001×1.40011065467016e-05×40589641000000     		ar = 1484361.29408493m²