Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16763 / 16249
↖ ↑ ↗
← N  1.482989°
E  4.163818°		 ← 1 221.23 m → N  1.482989°
E  4.174805°		 →
↑
1 221.26 m
↓
↑
1 221.26 m
↓
N  1.472006°
E  4.163818°		 ← 1 221.24 m →
1 491 439 m²		 N  1.472006°
E  4.174805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511581420898438 y=0.495895385742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511581420898438 × 215)
    floor (0.511581420898438 × 32768)
    floor (16763.5)     		tx = 16763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495895385742188 × 215)
    floor (0.495895385742188 × 32768)
    floor (16249.5)     		ty = 16249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16763 / 16249 ti = "15/16763/16249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16763/16249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16763 ÷ 215
    16763 ÷ 32768     		x = 0.511566162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16249 ÷ 215
    16249 ÷ 32768     		y = 0.495880126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511566162109375 × 2 - 1) × π
    0.02313232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.07267234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.495880126953125 × 2 - 1) × π
    0.00823974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0258859257948303
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07267234} λ = 0.07267234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0258859257948303))-π/2
    2×atan(1.02622387612311)-π/2
    2×0.798339681064376-π/2
    1.59667936212875-1.57079632675     		φ = 0.02588304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07267234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.163818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02588304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.482989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16763 KachelY 16249 0.07267234 0.02588304 4.163818 1.482989
    Oben rechts KachelX + 1 16764 KachelY 16249 0.07286409 0.02588304 4.174805 1.482989
    Unten links KachelX 16763 KachelY + 1 16250 0.07267234 0.02569135 4.163818 1.472006
    Unten rechts KachelX + 1 16764 KachelY + 1 16250 0.07286409 0.02569135 4.174805 1.472006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02588304-0.02569135) × R
    0.000191689999999998 × 6371000     		dl = 1221.25698999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02588304-0.02569135) × R
    0.000191689999999998 × 6371000     		dr = 1221.25698999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07267234-0.07286409) × cos(0.02588304) × R
    0.000191750000000004 × 0.999665052820118 × 6371000     		do = 1221.23006537841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07267234-0.07286409) × cos(0.02569135) × R
    0.000191750000000004 × 0.99966999541969 × 6371000     		du = 1221.23610345204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02588304)-sin(0.02569135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999665052820118-0.99966999541969)×R²
    abs(0.07286409-0.07267234)×4.94259957162235e-06×R²
    0.000191750000000004×4.94259957162235e-06×6371000²
    0.000191750000000004×4.94259957162235e-06×40589641000000     		ar = 1491439.44532825m²