Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16762 / 16778
↖ ↑ ↗
← S  4.324502°
E  4.152832°		 ← 1 218.16 m → S  4.324502°
E  4.163818°		 →
↑
1 218.14 m
↓
↑
1 218.14 m
↓
S  4.335456°
E  4.152832°		 ← 1 218.14 m →
1 483 874 m²		 S  4.335456°
E  4.163818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511550903320312 y=0.512039184570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511550903320312 × 215)
    floor (0.511550903320312 × 32768)
    floor (16762.5)     		tx = 16762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.512039184570312 × 215)
    floor (0.512039184570312 × 32768)
    floor (16778.5)     		ty = 16778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16762 / 16778 ti = "15/16762/16778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16762/16778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16762 ÷ 215
    16762 ÷ 32768     		x = 0.51153564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16778 ÷ 215
    16778 ÷ 32768     		y = 0.51202392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51153564453125 × 2 - 1) × π
    0.0230712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07248059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51202392578125 × 2 - 1) × π
    -0.0240478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0755485538012085
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07248059} λ = 0.07248059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0755485538012085))-π/2
    2×atan(0.927234708671298)-π/2
    2×0.747659768618227-π/2
    1.49531953723645-1.57079632675     		φ = -0.07547679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07248059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.152832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07547679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.324502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16762 KachelY 16778 0.07248059 -0.07547679 4.152832 -4.324502
    Oben rechts KachelX + 1 16763 KachelY 16778 0.07267234 -0.07547679 4.163818 -4.324502
    Unten links KachelX 16762 KachelY + 1 16779 0.07248059 -0.07566799 4.152832 -4.335456
    Unten rechts KachelX + 1 16763 KachelY + 1 16779 0.07267234 -0.07566799 4.163818 -4.335456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07547679--0.07566799) × R
    0.000191200000000002 × 6371000     		dl = 1218.13520000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07547679--0.07566799) × R
    0.000191200000000002 × 6371000     		dr = 1218.13520000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07248059-0.07267234) × cos(-0.07547679) × R
    0.000191750000000004 × 0.997152979033612 × 6371000     		do = 1218.16121744192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07248059-0.07267234) × cos(-0.07566799) × R
    0.000191750000000004 × 0.997138543342647 × 6371000     		du = 1218.14358223523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07547679)-sin(-0.07566799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997152979033612-0.997138543342647)×R²
    abs(0.07267234-0.07248059)×1.44356909652643e-05×R²
    0.000191750000000004×1.44356909652643e-05×6371000²
    0.000191750000000004×1.44356909652643e-05×40589641000000     		ar = 1483874.32172843m²