Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16762 / 16250
↖ ↑ ↗
← N  1.472006°
E  4.152832°		 ← 1 221.24 m → N  1.472006°
E  4.163818°		 →
↑
1 221.19 m
↓
↑
1 221.19 m
↓
N  1.461023°
E  4.152832°		 ← 1 221.24 m →
1 491 369 m²		 N  1.461023°
E  4.163818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511550903320312 y=0.495925903320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511550903320312 × 215)
    floor (0.511550903320312 × 32768)
    floor (16762.5)     		tx = 16762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495925903320312 × 215)
    floor (0.495925903320312 × 32768)
    floor (16250.5)     		ty = 16250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16762 / 16250 ti = "15/16762/16250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16762/16250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16762 ÷ 215
    16762 ÷ 32768     		x = 0.51153564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16250 ÷ 215
    16250 ÷ 32768     		y = 0.49591064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51153564453125 × 2 - 1) × π
    0.0230712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07248059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49591064453125 × 2 - 1) × π
    0.0081787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0256941781963501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07248059} λ = 0.07248059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0256941781963501))-π/2
    2×atan(1.02602711902381)-π/2
    2×0.798243839140565-π/2
    1.59648767828113-1.57079632675     		φ = 0.02569135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07248059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.152832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02569135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.472006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16762 KachelY 16250 0.07248059 0.02569135 4.152832 1.472006
    Oben rechts KachelX + 1 16763 KachelY 16250 0.07267234 0.02569135 4.163818 1.472006
    Unten links KachelX 16762 KachelY + 1 16251 0.07248059 0.02549967 4.152832 1.461023
    Unten rechts KachelX + 1 16763 KachelY + 1 16251 0.07267234 0.02549967 4.163818 1.461023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02569135-0.02549967) × R
    0.000191680000000003 × 6371000     		dl = 1221.19328000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02569135-0.02549967) × R
    0.000191680000000003 × 6371000     		dr = 1221.19328000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07248059-0.07267234) × cos(0.02569135) × R
    0.000191750000000004 × 0.99966999541969 × 6371000     		do = 1221.23610345204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07248059-0.07267234) × cos(0.02549967) × R
    0.000191750000000004 × 0.999674901031363 × 6371000     		du = 1221.24209633981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02569135)-sin(0.02549967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99966999541969-0.999674901031363)×R²
    abs(0.07267234-0.07248059)×4.90561167265646e-06×R²
    0.000191750000000004×4.90561167265646e-06×6371000²
    0.000191750000000004×4.90561167265646e-06×40589641000000     		ar = 1491368.9866324m²