Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16761 / 16251
↖ ↑ ↗
← N  1.461023°
E  4.141845°		 ← 1 221.24 m → N  1.461023°
E  4.152832°		 →
↑
1 221.26 m
↓
↑
1 221.26 m
↓
N  1.450040°
E  4.141845°		 ← 1 221.25 m →
1 491 454 m²		 N  1.450040°
E  4.152832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511520385742188 y=0.495956420898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511520385742188 × 215)
    floor (0.511520385742188 × 32768)
    floor (16761.5)     		tx = 16761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495956420898438 × 215)
    floor (0.495956420898438 × 32768)
    floor (16251.5)     		ty = 16251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16761 / 16251 ti = "15/16761/16251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16761/16251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16761 ÷ 215
    16761 ÷ 32768     		x = 0.511505126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16251 ÷ 215
    16251 ÷ 32768     		y = 0.495941162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511505126953125 × 2 - 1) × π
    0.02301025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07228884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.495941162109375 × 2 - 1) × π
    0.00811767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0255024305978699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07228884} λ = 0.07228884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0255024305978699))-π/2
    2×atan(1.0258303996486)-π/2
    2×0.798147996744662-π/2
    1.59629599348932-1.57079632675     		φ = 0.02549967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07228884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.141845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02549967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.461023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16761 KachelY 16251 0.07228884 0.02549967 4.141845 1.461023
    Oben rechts KachelX + 1 16762 KachelY 16251 0.07248059 0.02549967 4.152832 1.461023
    Unten links KachelX 16761 KachelY + 1 16252 0.07228884 0.02530798 4.141845 1.450040
    Unten rechts KachelX + 1 16762 KachelY + 1 16252 0.07248059 0.02530798 4.152832 1.450040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02549967-0.02530798) × R
    0.000191689999999998 × 6371000     		dl = 1221.25698999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02549967-0.02530798) × R
    0.000191689999999998 × 6371000     		dr = 1221.25698999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07228884-0.07248059) × cos(0.02549967) × R
    0.000191750000000004 × 0.999674901031363 × 6371000     		do = 1221.24209633981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07228884-0.07248059) × cos(0.02530798) × R
    0.000191750000000004 × 0.99967977016681 × 6371000     		du = 1221.24804466678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02549967)-sin(0.02530798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999674901031363-0.99967977016681)×R²
    abs(0.07248059-0.07228884)×4.86913544772705e-06×R²
    0.000191750000000004×4.86913544772705e-06×6371000²
    0.000191750000000004×4.86913544772705e-06×40589641000000     		ar = 1491454.08342215m²