Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1676 / 1900
↖ ↑ ↗
← S 82.214217°
E114.609375°		 ← 2 647.89 m → S 82.214217°
E114.785156°		 →
↑
2 643.90 m
↓
↑
2 643.90 m
↓
S 82.237994°
E114.609375°		 ← 2 639.85 m →
6 990 129 m²		 S 82.237994°
E114.785156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818603515625 y=0.927978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818603515625 × 211)
    floor (0.818603515625 × 2048)
    floor (1676.5)     		tx = 1676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.927978515625 × 211)
    floor (0.927978515625 × 2048)
    floor (1900.5)     		ty = 1900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1676 / 1900 ti = "11/1676/1900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1676/1900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1676 ÷ 211
    1676 ÷ 2048     		x = 0.818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1900 ÷ 211
    1900 ÷ 2048     		y = 0.927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818359375 × 2 - 1) × π
    0.63671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00031095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.927734375 × 2 - 1) × π
    -0.85546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.68753434029883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00031095} λ = 2.00031095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.68753434029883))-π/2
    2×atan(0.0680485171784717)-π/2
    2×0.0679437728720556-π/2
    0.135887545744111-1.57079632675     		φ = -1.43490878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00031095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43490878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.214217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1676 KachelY 1900 2.00031095 -1.43490878 114.609375 -82.214217
    Oben rechts KachelX + 1 1677 KachelY 1900 2.00337891 -1.43490878 114.785156 -82.214217
    Unten links KachelX 1676 KachelY + 1 1901 2.00031095 -1.43532377 114.609375 -82.237994
    Unten rechts KachelX + 1 1677 KachelY + 1 1901 2.00337891 -1.43532377 114.785156 -82.237994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43490878--1.43532377) × R
    0.000414990000000115 × 6371000     		dl = 2643.90129000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43490878--1.43532377) × R
    0.000414990000000115 × 6371000     		dr = 2643.90129000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00031095-2.00337891) × cos(-1.43490878) × R
    0.00306796000000009 × 0.135469729181416 × 6371000     		do = 2647.8876905725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00031095-2.00337891) × cos(-1.43532377) × R
    0.00306796000000009 × 0.135058553119377 × 6371000     		du = 2639.85085429986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43490878)-sin(-1.43532377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.135469729181416-0.135058553119377)×R²
    abs(2.00337891-2.00031095)×0.000411176062038471×R²
    0.00306796000000009×0.000411176062038471×6371000²
    0.00306796000000009×0.000411176062038471×40589641000000     		ar = 6990129.48030265m²