Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16736 / 16927
↖ ↑ ↗
← S  5.954827°
E  3.867187°		 ← 1 215.05 m → S  5.954827°
E  3.878174°		 →
↑
1 215.01 m
↓
↑
1 215.01 m
↓
S  5.965753°
E  3.867187°		 ← 1 215.02 m →
1 476 284 m²		 S  5.965753°
E  3.878174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510757446289062 y=0.516586303710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510757446289062 × 215)
    floor (0.510757446289062 × 32768)
    floor (16736.5)     		tx = 16736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516586303710938 × 215)
    floor (0.516586303710938 × 32768)
    floor (16927.5)     		ty = 16927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16736 / 16927 ti = "15/16736/16927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16736/16927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16736 ÷ 215
    16736 ÷ 32768     		x = 0.5107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16927 ÷ 215
    16927 ÷ 32768     		y = 0.516571044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5107421875 × 2 - 1) × π
    0.021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.06749515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.516571044921875 × 2 - 1) × π
    -0.03314208984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.104118945974762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06749515} λ = 0.06749515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.104118945974762))-π/2
    2×atan(0.901118106674803)-π/2
    2×0.7334324969525-π/2
    1.466864993905-1.57079632675     		φ = -0.10393133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06749515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.867187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10393133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.954827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16736 KachelY 16927 0.06749515 -0.10393133 3.867187 -5.954827
    Oben rechts KachelX + 1 16737 KachelY 16927 0.06768690 -0.10393133 3.878174 -5.954827
    Unten links KachelX 16736 KachelY + 1 16928 0.06749515 -0.10412204 3.867187 -5.965753
    Unten rechts KachelX + 1 16737 KachelY + 1 16928 0.06768690 -0.10412204 3.878174 -5.965753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10393133--0.10412204) × R
    0.000190709999999997 × 6371000     		dl = 1215.01340999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10393133--0.10412204) × R
    0.000190709999999997 × 6371000     		dr = 1215.01340999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06749515-0.06768690) × cos(-0.10393133) × R
    0.000191749999999991 × 0.99460399912146 × 6371000     		do = 1215.04728353368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06749515-0.06768690) × cos(-0.10412204) × R
    0.000191749999999991 × 0.994584195954369 × 6371000     		du = 1215.02309120749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10393133)-sin(-0.10412204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99460399912146-0.994584195954369)×R²
    abs(0.06768690-0.06749515)×1.98031670907151e-05×R²
    0.000191749999999991×1.98031670907151e-05×6371000²
    0.000191749999999991×1.98031670907151e-05×40589641000000     		ar = 1476284.05075147m²