Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1672 / 1896
↖ ↑ ↗
← S 82.118384°
E113.906250°		 ← 2 680.28 m → S 82.118384°
E114.082031°		 →
↑
2 676.20 m
↓
↑
2 676.20 m
↓
S 82.142451°
E113.906250°		 ← 2 672.14 m →
7 162 076 m²		 S 82.142451°
E114.082031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816650390625 y=0.926025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816650390625 × 211)
    floor (0.816650390625 × 2048)
    floor (1672.5)     		tx = 1672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.926025390625 × 211)
    floor (0.926025390625 × 2048)
    floor (1896.5)     		ty = 1896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1672 / 1896 ti = "11/1672/1896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1672/1896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1672 ÷ 211
    1672 ÷ 2048     		x = 0.81640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1896 ÷ 211
    1896 ÷ 2048     		y = 0.92578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81640625 × 2 - 1) × π
    0.6328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98803910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.92578125 × 2 - 1) × π
    -0.8515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.67526249399609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98803910} λ = 1.98803910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.67526249399609))-π/2
    2×atan(0.0688887431396584)-π/2
    2×0.0687800782245093-π/2
    0.137560156449019-1.57079632675     		φ = -1.43323617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98803910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43323617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.118384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1672 KachelY 1896 1.98803910 -1.43323617 113.906250 -82.118384
    Oben rechts KachelX + 1 1673 KachelY 1896 1.99110706 -1.43323617 114.082031 -82.118384
    Unten links KachelX 1672 KachelY + 1 1897 1.98803910 -1.43365623 113.906250 -82.142451
    Unten rechts KachelX + 1 1673 KachelY + 1 1897 1.99110706 -1.43365623 114.082031 -82.142451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43323617--1.43365623) × R
    0.000420059999999944 × 6371000     		dl = 2676.20225999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43323617--1.43365623) × R
    0.000420059999999944 × 6371000     		dr = 2676.20225999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98803910-1.99110706) × cos(-1.43323617) × R
    0.00306796000000009 × 0.137126729932919 × 6371000     		do = 2680.27538278748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98803910-1.99110706) × cos(-1.43365623) × R
    0.00306796000000009 × 0.136710625938913 × 6371000     		du = 2672.14222528888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43323617)-sin(-1.43365623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137126729932919-0.136710625938913)×R²
    abs(1.99110706-1.98803910)×0.000416103994005379×R²
    0.00306796000000009×0.000416103994005379×6371000²
    0.00306796000000009×0.000416103994005379×40589641000000     		ar = 7162076.15490737m²