Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16718 / 16714
↖ ↑ ↗
← S  3.623071°
E  3.669434°		 ← 1 219.20 m → S  3.623071°
E  3.680420°		 →
↑
1 219.22 m
↓
↑
1 219.22 m
↓
S  3.634036°
E  3.669434°		 ← 1 219.18 m →
1 486 459 m²		 S  3.634036°
E  3.680420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510208129882812 y=0.510086059570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510208129882812 × 215)
    floor (0.510208129882812 × 32768)
    floor (16718.5)     		tx = 16718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510086059570312 × 215)
    floor (0.510086059570312 × 32768)
    floor (16714.5)     		ty = 16714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16718 / 16714 ti = "15/16718/16714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16718/16714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16718 ÷ 215
    16718 ÷ 32768     		x = 0.51019287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16714 ÷ 215
    16714 ÷ 32768     		y = 0.51007080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51019287109375 × 2 - 1) × π
    0.0203857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.06404370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51007080078125 × 2 - 1) × π
    -0.0201416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0632767074984741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06404370} λ = 0.06404370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0632767074984741))-π/2
    2×atan(0.938683696932066)-π/2
    2×0.753780901559646-π/2
    1.50756180311929-1.57079632675     		φ = -0.06323452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06404370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.669434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06323452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.623071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16718 KachelY 16714 0.06404370 -0.06323452 3.669434 -3.623071
    Oben rechts KachelX + 1 16719 KachelY 16714 0.06423545 -0.06323452 3.680420 -3.623071
    Unten links KachelX 16718 KachelY + 1 16715 0.06404370 -0.06342589 3.669434 -3.634036
    Unten rechts KachelX + 1 16719 KachelY + 1 16715 0.06423545 -0.06342589 3.680420 -3.634036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06323452--0.06342589) × R
    0.000191369999999996 × 6371000     		dl = 1219.21826999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06323452--0.06342589) × R
    0.000191369999999996 × 6371000     		dr = 1219.21826999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06404370-0.06423545) × cos(-0.06323452) × R
    0.000191750000000004 × 0.998001363852983 × 6371000     		do = 1219.19763763636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06404370-0.06423545) × cos(-0.06342589) × R
    0.000191750000000004 × 0.997989252451357 × 6371000     		du = 1219.18284187276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06323452)-sin(-0.06342589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998001363852983-0.997989252451357)×R²
    abs(0.06423545-0.06404370)×1.21114016260471e-05×R²
    0.000191750000000004×1.21114016260471e-05×6371000²
    0.000191750000000004×1.21114016260471e-05×40589641000000     		ar = 1486459.01945088m²