Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16709 / 16706
↖ ↑ ↗
← S  3.535352°
E  3.570557°		 ← 1 219.31 m → S  3.535352°
E  3.581543°		 →
↑
1 219.28 m
↓
↑
1 219.28 m
↓
S  3.546318°
E  3.570557°		 ← 1 219.30 m →
1 486 679 m²		 S  3.546318°
E  3.581543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509933471679688 y=0.509841918945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509933471679688 × 215)
    floor (0.509933471679688 × 32768)
    floor (16709.5)     		tx = 16709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509841918945312 × 215)
    floor (0.509841918945312 × 32768)
    floor (16706.5)     		ty = 16706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16709 / 16706 ti = "15/16709/16706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16709/16706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16709 ÷ 215
    16709 ÷ 32768     		x = 0.509918212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16706 ÷ 215
    16706 ÷ 32768     		y = 0.50982666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509918212890625 × 2 - 1) × π
    0.01983642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06231797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50982666015625 × 2 - 1) × π
    -0.0196533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0617427267106323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06231797} λ = 0.06231797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0617427267106323))-π/2
    2×atan(0.940124724660872)-π/2
    2×0.754546395820984-π/2
    1.50909279164197-1.57079632675     		φ = -0.06170354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06231797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.570557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06170354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.535352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16709 KachelY 16706 0.06231797 -0.06170354 3.570557 -3.535352
    Oben rechts KachelX + 1 16710 KachelY 16706 0.06250972 -0.06170354 3.581543 -3.535352
    Unten links KachelX 16709 KachelY + 1 16707 0.06231797 -0.06189492 3.570557 -3.546318
    Unten rechts KachelX + 1 16710 KachelY + 1 16707 0.06250972 -0.06189492 3.581543 -3.546318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06170354--0.06189492) × R
    0.000191379999999998 × 6371000     		dl = 1219.28197999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06170354--0.06189492) × R
    0.000191379999999998 × 6371000     		dr = 1219.28197999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06231797-0.06250972) × cos(-0.06170354) × R
    0.000191750000000004 × 0.998096940488159 × 6371000     		do = 1219.31439780528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06231797-0.06250972) × cos(-0.06189492) × R
    0.000191750000000004 × 0.99808512087836 × 6371000     		du = 1219.29995850603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06170354)-sin(-0.06189492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998096940488159-0.99808512087836)×R²
    abs(0.06250972-0.06231797)×1.18196097989021e-05×R²
    0.000191750000000004×1.18196097989021e-05×6371000²
    0.000191750000000004×1.18196097989021e-05×40589641000000     		ar = 1486679.27494745m²