Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16706 / 16710
↖ ↑ ↗
← S  3.579213°
E  3.537598°		 ← 1 219.19 m → S  3.579213°
E  3.548584°		 →
↑
1 219.22 m
↓
↑
1 219.22 m
↓
S  3.590178°
E  3.537598°		 ← 1 219.18 m →
1 486 453 m²		 S  3.590178°
E  3.548584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509841918945312 y=0.509963989257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509841918945312 × 215)
    floor (0.509841918945312 × 32768)
    floor (16706.5)     		tx = 16706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509963989257812 × 215)
    floor (0.509963989257812 × 32768)
    floor (16710.5)     		ty = 16710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16706 / 16710 ti = "15/16706/16710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16706/16710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16706 ÷ 215
    16706 ÷ 32768     		x = 0.50982666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16710 ÷ 215
    16710 ÷ 32768     		y = 0.50994873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50982666015625 × 2 - 1) × π
    0.0196533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06174273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50994873046875 × 2 - 1) × π
    -0.0198974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0625097171045532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06174273} λ = 0.06174273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0625097171045532))-π/2
    2×atan(0.939403934482876)-π/2
    2×0.754163639526966-π/2
    1.50832727905393-1.57079632675     		φ = -0.06246905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06174273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.537598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06246905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.579213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16706 KachelY 16710 0.06174273 -0.06246905 3.537598 -3.579213
    Oben rechts KachelX + 1 16707 KachelY 16710 0.06193447 -0.06246905 3.548584 -3.579213
    Unten links KachelX 16706 KachelY + 1 16711 0.06174273 -0.06266042 3.537598 -3.590178
    Unten rechts KachelX + 1 16707 KachelY + 1 16711 0.06193447 -0.06266042 3.548584 -3.590178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06246905--0.06266042) × R
    0.000191369999999996 × 6371000     		dl = 1219.21826999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06246905--0.06266042) × R
    0.000191369999999996 × 6371000     		dr = 1219.21826999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06174273-0.06193447) × cos(-0.06246905) × R
    0.000191739999999996 × 0.99804944333797 × 6371000     		do = 1219.19278769225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06174273-0.06193447) × cos(-0.06266042) × R
    0.000191739999999996 × 0.998037478134209 × 6371000     		du = 1219.17817129201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06246905)-sin(-0.06266042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99804944333797-0.998037478134209)×R²
    abs(0.06193447-0.06174273)×1.19652037610107e-05×R²
    0.000191739999999996×1.19652037610107e-05×6371000²
    0.000191739999999996×1.19652037610107e-05×40589641000000     		ar = 1486453.21565191m²