Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16699 / 11045
↖ ↑ ↗
← N 50.478482°
E  3.460693°		 ← 777.41 m → N 50.478482°
E  3.471680°		 →
↑
777.45 m
↓
↑
777.45 m
↓
N 50.471491°
E  3.460693°		 ← 777.53 m →
604 446 m²		 N 50.471491°
E  3.471680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509628295898438 y=0.337081909179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509628295898438 × 215)
    floor (0.509628295898438 × 32768)
    floor (16699.5)     		tx = 16699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337081909179688 × 215)
    floor (0.337081909179688 × 32768)
    floor (11045.5)     		ty = 11045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16699 / 11045 ti = "15/16699/11045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16699/11045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16699 ÷ 215
    16699 ÷ 32768     		x = 0.509613037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11045 ÷ 215
    11045 ÷ 32768     		y = 0.337066650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509613037109375 × 2 - 1) × π
    0.01922607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.06040049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337066650390625 × 2 - 1) × π
    0.32586669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02374042828592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06040049} λ = 0.06040049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02374042828592))-π/2
    2×atan(2.78358712392392)-π/2
    2×1.22590602578764-π/2
    2.45181205157528-1.57079632675     		φ = 0.88101572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06040049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.460693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88101572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.478482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16699 KachelY 11045 0.06040049 0.88101572 3.460693 50.478482
    Oben rechts KachelX + 1 16700 KachelY 11045 0.06059224 0.88101572 3.471680 50.478482
    Unten links KachelX 16699 KachelY + 1 11046 0.06040049 0.88089369 3.460693 50.471491
    Unten rechts KachelX + 1 16700 KachelY + 1 11046 0.06059224 0.88089369 3.471680 50.471491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88101572-0.88089369) × R
    0.000122029999999995 × 6371000     		dl = 777.453129999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88101572-0.88089369) × R
    0.000122029999999995 × 6371000     		dr = 777.453129999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06040049-0.06059224) × cos(0.88101572) × R
    0.000191749999999997 × 0.63636796076883 × 6371000     		do = 777.412078317652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06040049-0.06059224) × cos(0.88089369) × R
    0.000191749999999997 × 0.636462088221086 × 6371000     		du = 777.527068107832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88101572)-sin(0.88089369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63636796076883-0.636462088221086)×R²
    abs(0.06059224-0.06040049)×9.4127452256898e-05×R²
    0.000191749999999997×9.4127452256898e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.4127452256898e-05×40589641000000     		ar = 604446.153923924m²