Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16682 / 11032
↖ ↑ ↗
← N 50.569283°
E  3.273926°		 ← 775.92 m → N 50.569283°
E  3.284912°		 →
↑
775.99 m
↓
↑
775.99 m
↓
N 50.562304°
E  3.273926°		 ← 776.03 m →
602 147 m²		 N 50.562304°
E  3.284912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509109497070312 y=0.336685180664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509109497070312 × 215)
    floor (0.509109497070312 × 32768)
    floor (16682.5)     		tx = 16682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336685180664062 × 215)
    floor (0.336685180664062 × 32768)
    floor (11032.5)     		ty = 11032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16682 / 11032 ti = "15/16682/11032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16682/11032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16682 ÷ 215
    16682 ÷ 32768     		x = 0.50909423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11032 ÷ 215
    11032 ÷ 32768     		y = 0.336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50909423828125 × 2 - 1) × π
    0.0181884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05714078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336669921875 × 2 - 1) × π
    0.32666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02623314706616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05714078} λ = 0.05714078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02623314706616))-π/2
    2×atan(2.79053447912819)-π/2
    2×1.22669840657652-π/2
    2.45339681315303-1.57079632675     		φ = 0.88260049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05714078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.273926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88260049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.569283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16682 KachelY 11032 0.05714078 0.88260049 3.273926 50.569283
    Oben rechts KachelX + 1 16683 KachelY 11032 0.05733253 0.88260049 3.284912 50.569283
    Unten links KachelX 16682 KachelY + 1 11033 0.05714078 0.88247869 3.273926 50.562304
    Unten rechts KachelX + 1 16683 KachelY + 1 11033 0.05733253 0.88247869 3.284912 50.562304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88260049-0.88247869) × R
    0.00012179999999995 × 6371000     		dl = 775.98779999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88260049-0.88247869) × R
    0.00012179999999995 × 6371000     		dr = 775.98779999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05714078-0.05733253) × cos(0.88260049) × R
    0.000191749999999997 × 0.635144693328959 × 6371000     		do = 775.917686799859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05714078-0.05733253) × cos(0.88247869) × R
    0.000191749999999997 × 0.635238766106317 × 6371000     		du = 776.032609797037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88260049)-sin(0.88247869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635144693328959-0.635238766106317)×R²
    abs(0.05733253-0.05714078)×9.40727773582894e-05×R²
    0.000191749999999997×9.40727773582894e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.40727773582894e-05×40589641000000     		ar = 602147.248926947m²