Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16676 / 11068
↖ ↑ ↗
← N 50.317408°
E  3.208008°		 ← 780.06 m → N 50.317408°
E  3.218994°		 →
↑
780.07 m
↓
↑
780.07 m
↓
N 50.310393°
E  3.208008°		 ← 780.17 m →
608 541 m²		 N 50.310393°
E  3.218994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508926391601562 y=0.337783813476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508926391601562 × 215)
    floor (0.508926391601562 × 32768)
    floor (16676.5)     		tx = 16676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337783813476562 × 215)
    floor (0.337783813476562 × 32768)
    floor (11068.5)     		ty = 11068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16676 / 11068 ti = "15/16676/11068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16676/11068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16676 ÷ 215
    16676 ÷ 32768     		x = 0.5089111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11068 ÷ 215
    11068 ÷ 32768     		y = 0.3377685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5089111328125 × 2 - 1) × π
    0.017822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05599030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3377685546875 × 2 - 1) × π
    0.324462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01933023352087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05599030} λ = 0.05599030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01933023352087))-π/2
    2×atan(2.77133799294221)-π/2
    2×1.2245003847056-π/2
    2.4490007694112-1.57079632675     		φ = 0.87820444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05599030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.208008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87820444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.317408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16676 KachelY 11068 0.05599030 0.87820444 3.208008 50.317408
    Oben rechts KachelX + 1 16677 KachelY 11068 0.05618205 0.87820444 3.218994 50.317408
    Unten links KachelX 16676 KachelY + 1 11069 0.05599030 0.87808200 3.208008 50.310393
    Unten rechts KachelX + 1 16677 KachelY + 1 11069 0.05618205 0.87808200 3.218994 50.310393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87820444-0.87808200) × R
    0.000122439999999946 × 6371000     		dl = 780.065239999656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87820444-0.87808200) × R
    0.000122439999999946 × 6371000     		dr = 780.065239999656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05599030-0.05618205) × cos(0.87820444) × R
    0.000191749999999997 × 0.638534024257602 × 6371000     		do = 780.058226493529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05599030-0.05618205) × cos(0.87808200) × R
    0.000191749999999997 × 0.638628248510703 × 6371000     		du = 780.173334539418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87820444)-sin(0.87808200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638534024257602-0.638628248510703)×R²
    abs(0.05618205-0.05599030)×9.42242531005721e-05×R²
    0.000191749999999997×9.42242531005721e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.42242531005721e-05×40589641000000     		ar = 608541.204315992m²