Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16673 / 11070
↖ ↑ ↗
← N 50.303376°
E  3.175049°		 ← 780.25 m → N 50.303376°
E  3.186035°		 →
↑
780.32 m
↓
↑
780.32 m
↓
N 50.296358°
E  3.175049°		 ← 780.36 m →
608 888 m²		 N 50.296358°
E  3.186035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508834838867188 y=0.337844848632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508834838867188 × 215)
    floor (0.508834838867188 × 32768)
    floor (16673.5)     		tx = 16673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337844848632812 × 215)
    floor (0.337844848632812 × 32768)
    floor (11070.5)     		ty = 11070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16673 / 11070 ti = "15/16673/11070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16673/11070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16673 ÷ 215
    16673 ÷ 32768     		x = 0.508819580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11070 ÷ 215
    11070 ÷ 32768     		y = 0.33782958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508819580078125 × 2 - 1) × π
    0.01763916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05541506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33782958984375 × 2 - 1) × π
    0.3243408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01894673832391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05541506} λ = 0.05541506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01894673832391))-π/2
    2×atan(2.77027540189507)-π/2
    2×1.22437792927193-π/2
    2.44875585854385-1.57079632675     		φ = 0.87795953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05541506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.175049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87795953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.303376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16673 KachelY 11070 0.05541506 0.87795953 3.175049 50.303376
    Oben rechts KachelX + 1 16674 KachelY 11070 0.05560680 0.87795953 3.186035 50.303376
    Unten links KachelX 16673 KachelY + 1 11071 0.05541506 0.87783705 3.175049 50.296358
    Unten rechts KachelX + 1 16674 KachelY + 1 11071 0.05560680 0.87783705 3.186035 50.296358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87795953-0.87783705) × R
    0.000122480000000036 × 6371000     		dl = 780.320080000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87795953-0.87783705) × R
    0.000122480000000036 × 6371000     		dr = 780.320080000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05541506-0.05560680) × cos(0.87795953) × R
    0.000191739999999996 × 0.63872248627289 × 6371000     		do = 780.24776607893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05541506-0.05560680) × cos(0.87783705) × R
    0.000191739999999996 × 0.638816722148531 × 6371000     		du = 780.362882319604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87795953)-sin(0.87783705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63872248627289-0.638816722148531)×R²
    abs(0.05560680-0.05541506)×9.42358756412798e-05×R²
    0.000191739999999996×9.42358756412798e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.42358756412798e-05×40589641000000     		ar = 608887.913764666m²