Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16672 / 15968
↖ ↑ ↗
← N  4.565474°
E  3.164063°		 ← 1 217.76 m → N  4.565474°
E  3.175049°		 →
↑
1 217.82 m
↓
↑
1 217.82 m
↓
N  4.554522°
E  3.164063°		 ← 1 217.78 m →
1 483 023 m²		 N  4.554522°
E  3.175049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508804321289062 y=0.487319946289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508804321289062 × 215)
    floor (0.508804321289062 × 32768)
    floor (16672.5)     		tx = 16672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.487319946289062 × 215)
    floor (0.487319946289062 × 32768)
    floor (15968.5)     		ty = 15968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16672 / 15968 ti = "15/16672/15968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16672/15968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16672 ÷ 215
    16672 ÷ 32768     		x = 0.5087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15968 ÷ 215
    15968 ÷ 32768     		y = 0.4873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5087890625 × 2 - 1) × π
    0.017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05522331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4873046875 × 2 - 1) × π
    0.025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0797670009677734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05522331} λ = 0.05522331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0797670009677734))-π/2
    2×atan(1.08303469223932)-π/2
    2×0.825239436082617-π/2
    1.65047887216523-1.57079632675     		φ = 0.07968255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05522331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.07968255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.565474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16672 KachelY 15968 0.05522331 0.07968255 3.164063 4.565474
    Oben rechts KachelX + 1 16673 KachelY 15968 0.05541506 0.07968255 3.175049 4.565474
    Unten links KachelX 16672 KachelY + 1 15969 0.05522331 0.07949140 3.164063 4.554522
    Unten rechts KachelX + 1 16673 KachelY + 1 15969 0.05541506 0.07949140 3.175049 4.554522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.07968255-0.07949140) × R
    0.000191150000000001 × 6371000     		dl = 1217.81665000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.07968255-0.07949140) × R
    0.000191150000000001 × 6371000     		dr = 1217.81665000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05522331-0.05541506) × cos(0.07968255) × R
    0.000191750000000004 × 0.996827024995696 × 6371000     		do = 1217.7630191955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05522331-0.05541506) × cos(0.07949140) × R
    0.000191750000000004 × 0.9968422219909 × 6371000     		du = 1217.78158444132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.07968255)-sin(0.07949140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996827024995696-0.9968422219909)×R²
    abs(0.05541506-0.05522331)×1.51969952040254e-05×R²
    0.000191750000000004×1.51969952040254e-05×6371000²
    0.000191750000000004×1.51969952040254e-05×40589641000000     		ar = 1483023.38957884m²