Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16668 / 16115
↖ ↑ ↗
← N  2.954013°
E  3.120117°		 ← 1 220.02 m → N  2.954013°
E  3.131104°		 →
↑
1 220.05 m
↓
↑
1 220.05 m
↓
N  2.943041°
E  3.120117°		 ← 1 220.03 m →
1 488 484 m²		 N  2.943041°
E  3.131104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508682250976562 y=0.491806030273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508682250976562 × 215)
    floor (0.508682250976562 × 32768)
    floor (16668.5)     		tx = 16668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491806030273438 × 215)
    floor (0.491806030273438 × 32768)
    floor (16115.5)     		ty = 16115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16668 / 16115 ti = "15/16668/16115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16668/16115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16668 ÷ 215
    16668 ÷ 32768     		x = 0.5086669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16115 ÷ 215
    16115 ÷ 32768     		y = 0.491790771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5086669921875 × 2 - 1) × π
    0.017333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05445632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491790771484375 × 2 - 1) × π
    0.01641845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0515801039911804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05445632} λ = 0.05445632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0515801039911804))-π/2
    2×atan(1.05293352709204)-π/2
    2×0.811176787223875-π/2
    1.62235357444775-1.57079632675     		φ = 0.05155725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05445632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.120117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05155725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.954013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16668 KachelY 16115 0.05445632 0.05155725 3.120117 2.954013
    Oben rechts KachelX + 1 16669 KachelY 16115 0.05464807 0.05155725 3.131104 2.954013
    Unten links KachelX 16668 KachelY + 1 16116 0.05445632 0.05136575 3.120117 2.943041
    Unten rechts KachelX + 1 16669 KachelY + 1 16116 0.05464807 0.05136575 3.131104 2.943041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05155725-0.05136575) × R
    0.000191499999999997 × 6371000     		dl = 1220.04649999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05155725-0.05136575) × R
    0.000191499999999997 × 6371000     		dr = 1220.04649999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05445632-0.05464807) × cos(0.05155725) × R
    0.000191749999999997 × 0.998671219366866 × 6371000     		do = 1220.01595942391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05445632-0.05464807) × cos(0.05136575) × R
    0.000191749999999997 × 0.998681069894921 × 6371000     		du = 1220.02799321561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05155725)-sin(0.05136575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998671219366866-0.998681069894921)×R²
    abs(0.05464807-0.05445632)×9.85052805535513e-06×R²
    0.000191749999999997×9.85052805535513e-06×6371000²
    0.000191749999999997×9.85052805535513e-06×40589641000000     		ar = 1488483.54668079m²