Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16668 / 16015
↖ ↑ ↗
← N  4.050577°
E  3.120117°		 ← 1 218.59 m → N  4.050577°
E  3.131104°		 →
↑
1 218.58 m
↓
↑
1 218.58 m
↓
N  4.039618°
E  3.120117°		 ← 1 218.60 m →
1 484 958 m²		 N  4.039618°
E  3.131104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508682250976562 y=0.488754272460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508682250976562 × 215)
    floor (0.508682250976562 × 32768)
    floor (16668.5)     		tx = 16668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.488754272460938 × 215)
    floor (0.488754272460938 × 32768)
    floor (16015.5)     		ty = 16015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16668 / 16015 ti = "15/16668/16015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16668/16015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16668 ÷ 215
    16668 ÷ 32768     		x = 0.5086669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16015 ÷ 215
    16015 ÷ 32768     		y = 0.488739013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5086669921875 × 2 - 1) × π
    0.017333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05445632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.488739013671875 × 2 - 1) × π
    0.02252197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0707548638392029
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05445632} λ = 0.05445632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0707548638392029))-π/2
    2×atan(1.07331808454239)-π/2
    2×0.820746114157879-π/2
    1.64149222831576-1.57079632675     		φ = 0.07069590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05445632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.120117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.07069590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.050577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16668 KachelY 16015 0.05445632 0.07069590 3.120117 4.050577
    Oben rechts KachelX + 1 16669 KachelY 16015 0.05464807 0.07069590 3.131104 4.050577
    Unten links KachelX 16668 KachelY + 1 16016 0.05445632 0.07050463 3.120117 4.039618
    Unten rechts KachelX + 1 16669 KachelY + 1 16016 0.05464807 0.07050463 3.131104 4.039618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.07069590-0.07050463) × R
    0.000191270000000007 × 6371000     		dl = 1218.58117000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.07069590-0.07050463) × R
    0.000191270000000007 × 6371000     		dr = 1218.58117000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05445632-0.05464807) × cos(0.07069590) × R
    0.000191749999999997 × 0.997502085484348 × 6371000     		do = 1218.58769958452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05445632-0.05464807) × cos(0.07050463) × R
    0.000191749999999997 × 0.997515577981831 × 6371000     		du = 1218.60418254902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.07069590)-sin(0.07050463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997502085484348-0.997515577981831)×R²
    abs(0.05464807-0.05445632)×1.34924974829476e-05×R²
    0.000191749999999997×1.34924974829476e-05×6371000²
    0.000191749999999997×1.34924974829476e-05×40589641000000     		ar = 1484958.07214969m²