Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16666 / 16120
↖ ↑ ↗
← N  2.899153°
E  3.098144°		 ← 1 220.08 m → N  2.899153°
E  3.109131°		 →
↑
1 220.05 m
↓
↑
1 220.05 m
↓
N  2.888181°
E  3.098144°		 ← 1 220.09 m →
1 488 556 m²		 N  2.888181°
E  3.109131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508621215820312 y=0.491958618164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508621215820312 × 215)
    floor (0.508621215820312 × 32768)
    floor (16666.5)     		tx = 16666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491958618164062 × 215)
    floor (0.491958618164062 × 32768)
    floor (16120.5)     		ty = 16120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16666 / 16120 ti = "15/16666/16120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16666/16120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16666 ÷ 215
    16666 ÷ 32768     		x = 0.50860595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16120 ÷ 215
    16120 ÷ 32768     		y = 0.491943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50860595703125 × 2 - 1) × π
    0.0172119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05407282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491943359375 × 2 - 1) × π
    0.01611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0506213659987793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05407282} λ = 0.05407282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0506213659987793))-π/2
    2×atan(1.05192452347848)-π/2
    2×0.810698043450215-π/2
    1.62139608690043-1.57079632675     		φ = 0.05059976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05407282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.098144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05059976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.899153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16666 KachelY 16120 0.05407282 0.05059976 3.098144 2.899153
    Oben rechts KachelX + 1 16667 KachelY 16120 0.05426457 0.05059976 3.109131 2.899153
    Unten links KachelX 16666 KachelY + 1 16121 0.05407282 0.05040826 3.098144 2.888181
    Unten rechts KachelX + 1 16667 KachelY + 1 16121 0.05426457 0.05040826 3.109131 2.888181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05059976-0.05040826) × R
    0.000191499999999997 × 6371000     		dl = 1220.04649999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05059976-0.05040826) × R
    0.000191499999999997 × 6371000     		dr = 1220.04649999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05407282-0.05426457) × cos(0.05059976) × R
    0.000191749999999997 × 0.998720105258951 × 6371000     		do = 1220.07568034845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05407282-0.05426457) × cos(0.05040826) × R
    0.000191749999999997 × 0.998729772665925 × 6371000     		du = 1220.08749043225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05059976)-sin(0.05040826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998720105258951-0.998729772665925)×R²
    abs(0.05426457-0.05407282)×9.66740697350144e-06×R²
    0.000191749999999997×9.66740697350144e-06×6371000²
    0.000191749999999997×9.66740697350144e-06×40589641000000     		ar = 1488556.27251899m²