Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16665 / 16006
↖ ↑ ↗
← N  4.149200°
E  3.087158°		 ← 1 218.37 m → N  4.149200°
E  3.098144°		 →
↑
1 218.39 m
↓
↑
1 218.39 m
↓
N  4.138243°
E  3.087158°		 ← 1 218.39 m →
1 484 465 m²		 N  4.138243°
E  3.098144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508590698242188 y=0.488479614257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508590698242188 × 215)
    floor (0.508590698242188 × 32768)
    floor (16665.5)     		tx = 16665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.488479614257812 × 215)
    floor (0.488479614257812 × 32768)
    floor (16006.5)     		ty = 16006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16665 / 16006 ti = "15/16665/16006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16665/16006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16665 ÷ 215
    16665 ÷ 32768     		x = 0.508575439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16006 ÷ 215
    16006 ÷ 32768     		y = 0.48846435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508575439453125 × 2 - 1) × π
    0.01715087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05388108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48846435546875 × 2 - 1) × π
    0.0230712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0724805922255249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05388108} λ = 0.05388108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0724805922255249))-π/2
    2×atan(1.07517193919315)-π/2
    2×0.821606770106722-π/2
    1.64321354021344-1.57079632675     		φ = 0.07241721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05388108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.087158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.07241721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.149200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16665 KachelY 16006 0.05388108 0.07241721 3.087158 4.149200
    Oben rechts KachelX + 1 16666 KachelY 16006 0.05407282 0.07241721 3.098144 4.149200
    Unten links KachelX 16665 KachelY + 1 16007 0.05388108 0.07222597 3.087158 4.138243
    Unten rechts KachelX + 1 16666 KachelY + 1 16007 0.05407282 0.07222597 3.098144 4.138243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.07241721-0.07222597) × R
    0.000191239999999995 × 6371000     		dl = 1218.39003999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.07241721-0.07222597) × R
    0.000191239999999995 × 6371000     		dr = 1218.39003999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05388108-0.05407282) × cos(0.07241721) × R
    0.000191740000000003 × 0.997379019571869 × 6371000     		do = 1218.37381441819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05388108-0.05407282) × cos(0.07222597) × R
    0.000191740000000003 × 0.997392838299091 × 6371000     		du = 1218.39069503736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.07241721)-sin(0.07222597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997379019571869-0.997392838299091)×R²
    abs(0.05407282-0.05388108)×1.38187272219481e-05×R²
    0.000191740000000003×1.38187272219481e-05×6371000²
    0.000191740000000003×1.38187272219481e-05×40589641000000     		ar = 1484464.80859729m²