Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16662 / 16091
↖ ↑ ↗
← N  3.217302°
E  3.054199°		 ← 1 219.71 m → N  3.217302°
E  3.065186°		 →
↑
1 219.66 m
↓
↑
1 219.66 m
↓
N  3.206333°
E  3.054199°		 ← 1 219.73 m →
1 487 649 m²		 N  3.206333°
E  3.065186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508499145507812 y=0.491073608398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508499145507812 × 215)
    floor (0.508499145507812 × 32768)
    floor (16662.5)     		tx = 16662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491073608398438 × 215)
    floor (0.491073608398438 × 32768)
    floor (16091.5)     		ty = 16091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16662 / 16091 ti = "15/16662/16091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16662/16091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16662 ÷ 215
    16662 ÷ 32768     		x = 0.50848388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16091 ÷ 215
    16091 ÷ 32768     		y = 0.491058349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50848388671875 × 2 - 1) × π
    0.0169677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05330583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491058349609375 × 2 - 1) × π
    0.01788330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0561820463547058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05330583} λ = 0.05330583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0561820463547058))-π/2
    2×atan(1.0577902330656)-π/2
    2×0.813474420369925-π/2
    1.62694884073985-1.57079632675     		φ = 0.05615251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05330583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.054199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05615251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.217302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16662 KachelY 16091 0.05330583 0.05615251 3.054199 3.217302
    Oben rechts KachelX + 1 16663 KachelY 16091 0.05349758 0.05615251 3.065186 3.217302
    Unten links KachelX 16662 KachelY + 1 16092 0.05330583 0.05596107 3.054199 3.206333
    Unten rechts KachelX + 1 16663 KachelY + 1 16092 0.05349758 0.05596107 3.065186 3.206333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05615251-0.05596107) × R
    0.000191440000000001 × 6371000     		dl = 1219.66424000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05615251-0.05596107) × R
    0.000191440000000001 × 6371000     		dr = 1219.66424000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05330583-0.05349758) × cos(0.05615251) × R
    0.000191750000000004 × 0.998423862019614 × 6371000     		do = 1219.71377797977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05330583-0.05349758) × cos(0.05596107) × R
    0.000191750000000004 × 0.998434587911973 × 6371000     		du = 1219.72688115087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05615251)-sin(0.05596107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998423862019614-0.998434587911973)×R²
    abs(0.05349758-0.05330583)×1.07258923586206e-05×R²
    0.000191750000000004×1.07258923586206e-05×6371000²
    0.000191750000000004×1.07258923586206e-05×40589641000000     		ar = 1487649.2733153m²