Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16662 / 16088
↖ ↑ ↗
← N  3.250209°
E  3.054199°		 ← 1 219.67 m → N  3.250209°
E  3.065186°		 →
↑
1 219.66 m
↓
↑
1 219.66 m
↓
N  3.239240°
E  3.054199°		 ← 1 219.69 m →
1 487 601 m²		 N  3.239240°
E  3.065186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508499145507812 y=0.490982055664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508499145507812 × 215)
    floor (0.508499145507812 × 32768)
    floor (16662.5)     		tx = 16662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490982055664062 × 215)
    floor (0.490982055664062 × 32768)
    floor (16088.5)     		ty = 16088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16662 / 16088 ti = "15/16662/16088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16662/16088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16662 ÷ 215
    16662 ÷ 32768     		x = 0.50848388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16088 ÷ 215
    16088 ÷ 32768     		y = 0.490966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50848388671875 × 2 - 1) × π
    0.0169677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05330583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490966796875 × 2 - 1) × π
    0.01806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0567572891501465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05330583} λ = 0.05330583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0567572891501465))-π/2
    2×atan(1.05839889432348)-π/2
    2×0.813761583785317-π/2
    1.62752316757063-1.57079632675     		φ = 0.05672684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05330583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.054199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05672684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.250209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16662 KachelY 16088 0.05330583 0.05672684 3.054199 3.250209
    Oben rechts KachelX + 1 16663 KachelY 16088 0.05349758 0.05672684 3.065186 3.250209
    Unten links KachelX 16662 KachelY + 1 16089 0.05330583 0.05653540 3.054199 3.239240
    Unten rechts KachelX + 1 16663 KachelY + 1 16089 0.05349758 0.05653540 3.065186 3.239240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05672684-0.05653540) × R
    0.000191440000000001 × 6371000     		dl = 1219.66424000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05672684-0.05653540) × R
    0.000191440000000001 × 6371000     		dr = 1219.66424000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05330583-0.05349758) × cos(0.05672684) × R
    0.000191750000000004 × 0.998391464228098 × 6371000     		do = 1219.67419956604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05330583-0.05349758) × cos(0.05653540) × R
    0.000191750000000004 × 0.998402299895711 × 6371000     		du = 1219.6874368429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05672684)-sin(0.05653540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998391464228098-0.998402299895711)×R²
    abs(0.05349758-0.05330583)×1.08356676129517e-05×R²
    0.000191750000000004×1.08356676129517e-05×6371000²
    0.000191750000000004×1.08356676129517e-05×40589641000000     		ar = 1487601.08272123m²