Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16660 / 17150
↖ ↑ ↗
← S  8.385431°
E  3.032227°		 ← 1 208.52 m → S  8.385431°
E  3.043213°		 →
↑
1 208.58 m
↓
↑
1 208.58 m
↓
S  8.396300°
E  3.032227°		 ← 1 208.48 m →
1 460 567 m²		 S  8.396300°
E  3.043213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508438110351562 y=0.523391723632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508438110351562 × 215)
    floor (0.508438110351562 × 32768)
    floor (16660.5)     		tx = 16660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523391723632812 × 215)
    floor (0.523391723632812 × 32768)
    floor (17150.5)     		ty = 17150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16660 / 17150 ti = "15/16660/17150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16660/17150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16660 ÷ 215
    16660 ÷ 32768     		x = 0.5084228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17150 ÷ 215
    17150 ÷ 32768     		y = 0.52337646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5084228515625 × 2 - 1) × π
    0.016845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05292234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52337646484375 × 2 - 1) × π
    -0.0467529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.146878660435852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05292234} λ = 0.05292234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.146878660435852))-π/2
    2×atan(0.863398735486791)-π/2
    2×0.712221473189271-π/2
    1.42444294637854-1.57079632675     		φ = -0.14635338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05292234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.032227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14635338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.385431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16660 KachelY 17150 0.05292234 -0.14635338 3.032227 -8.385431
    Oben rechts KachelX + 1 16661 KachelY 17150 0.05311408 -0.14635338 3.043213 -8.385431
    Unten links KachelX 16660 KachelY + 1 17151 0.05292234 -0.14654308 3.032227 -8.396300
    Unten rechts KachelX + 1 16661 KachelY + 1 17151 0.05311408 -0.14654308 3.043213 -8.396300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14635338--0.14654308) × R
    0.000189699999999987 × 6371000     		dl = 1208.57869999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14635338--0.14654308) × R
    0.000189699999999987 × 6371000     		dr = 1208.57869999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05292234-0.05311408) × cos(-0.14635338) × R
    0.000191740000000003 × 0.989309446559684 × 6371000     		do = 1208.51622140826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05292234-0.05311408) × cos(-0.14654308) × R
    0.000191740000000003 × 0.989281764528453 × 6371000     		du = 1208.48240571601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14635338)-sin(-0.14654308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989309446559684-0.989281764528453)×R²
    abs(0.05311408-0.05292234)×2.76820312314907e-05×R²
    0.000191740000000003×2.76820312314907e-05×6371000²
    0.000191740000000003×2.76820312314907e-05×40589641000000     		ar = 1460566.53371571m²