Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1666 / 1930
↖ ↑ ↗
← S 82.896987°
E112.851562°		 ← 2 416.93 m → S 82.896987°
E113.027344°		 →
↑
2 413.27 m
↓
↑
2 413.27 m
↓
S 82.918690°
E112.851562°		 ← 2 409.58 m →
5 823 845 m²		 S 82.918690°
E113.027344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813720703125 y=0.942626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813720703125 × 211)
    floor (0.813720703125 × 2048)
    floor (1666.5)     		tx = 1666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.942626953125 × 211)
    floor (0.942626953125 × 2048)
    floor (1930.5)     		ty = 1930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1666 / 1930 ti = "11/1666/1930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1666/1930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1666 ÷ 211
    1666 ÷ 2048     		x = 0.8134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1930 ÷ 211
    1930 ÷ 2048     		y = 0.9423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8134765625 × 2 - 1) × π
    0.626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96963133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9423828125 × 2 - 1) × π
    -0.884765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.77957318756934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96963133} λ = 1.96963133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.77957318756934))-π/2
    2×atan(0.0620649918350326)-π/2
    2×0.0619854827614221-π/2
    0.123970965522844-1.57079632675     		φ = -1.44682536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96963133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44682536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.896987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1666 KachelY 1930 1.96963133 -1.44682536 112.851562 -82.896987
    Oben rechts KachelX + 1 1667 KachelY 1930 1.97269929 -1.44682536 113.027344 -82.896987
    Unten links KachelX 1666 KachelY + 1 1931 1.96963133 -1.44720415 112.851562 -82.918690
    Unten rechts KachelX + 1 1667 KachelY + 1 1931 1.97269929 -1.44720415 113.027344 -82.918690
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44682536--1.44720415) × R
    0.000378789999999851 × 6371000     		dl = 2413.27108999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44682536--1.44720415) × R
    0.000378789999999851 × 6371000     		dr = 2413.27108999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96963133-1.97269929) × cos(-1.44682536) × R
    0.00306796000000009 × 0.123653663210201 × 6371000     		do = 2416.93118224233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96963133-1.97269929) × cos(-1.44720415) × R
    0.00306796000000009 × 0.123277771396135 × 6371000     		du = 2409.58401093355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44682536)-sin(-1.44720415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.123653663210201-0.123277771396135)×R²
    abs(1.97269929-1.96963133)×0.000375891814065069×R²
    0.00306796000000009×0.000375891814065069×6371000²
    0.00306796000000009×0.000375891814065069×40589641000000     		ar = 5823844.86019762m²