Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16659 / 16637
↖ ↑ ↗
← S  2.778452°
E  3.021240°		 ← 1 220.20 m → S  2.778452°
E  3.032227°		 →
↑
1 220.17 m
↓
↑
1 220.17 m
↓
S  2.789425°
E  3.021240°		 ← 1 220.19 m →
1 488 853 m²		 S  2.789425°
E  3.032227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508407592773438 y=0.507736206054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508407592773438 × 215)
    floor (0.508407592773438 × 32768)
    floor (16659.5)     		tx = 16659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507736206054688 × 215)
    floor (0.507736206054688 × 32768)
    floor (16637.5)     		ty = 16637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16659 / 16637 ti = "15/16659/16637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16659/16637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16659 ÷ 215
    16659 ÷ 32768     		x = 0.508392333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16637 ÷ 215
    16637 ÷ 32768     		y = 0.507720947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508392333984375 × 2 - 1) × π
    0.01678466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05273059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507720947265625 × 2 - 1) × π
    -0.01544189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0485121424154968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05273059} λ = 0.05273059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0485121424154968))-π/2
    2×atan(0.952645771814824)-π/2
    2×0.761151600748509-π/2
    1.52230320149702-1.57079632675     		φ = -0.04849313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05273059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.021240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04849313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.778452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16659 KachelY 16637 0.05273059 -0.04849313 3.021240 -2.778452
    Oben rechts KachelX + 1 16660 KachelY 16637 0.05292234 -0.04849313 3.032227 -2.778452
    Unten links KachelX 16659 KachelY + 1 16638 0.05273059 -0.04868465 3.021240 -2.789425
    Unten rechts KachelX + 1 16660 KachelY + 1 16638 0.05292234 -0.04868465 3.032227 -2.789425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04849313--0.04868465) × R
    0.000191520000000001 × 6371000     		dl = 1220.17392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04849313--0.04868465) × R
    0.000191520000000001 × 6371000     		dr = 1220.17392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05273059-0.05292234) × cos(-0.04849313) × R
    0.000191749999999997 × 0.998824438567745 × 6371000     		do = 1220.20313801355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05273059-0.05292234) × cos(-0.04868465) × R
    0.000191749999999997 × 0.998815136484739 × 6371000     		du = 1220.19177422385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04849313)-sin(-0.04868465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998824438567745-0.998815136484739)×R²
    abs(0.05292234-0.05273059)×9.30208300620183e-06×R²
    0.000191749999999997×9.30208300620183e-06×6371000²
    0.000191749999999997×9.30208300620183e-06×40589641000000     		ar = 1488853.11775733m²