Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16656 / 16096
↖ ↑ ↗
← N  3.162455°
E  2.988281°		 ← 1 219.72 m → N  3.162455°
E  2.999267°		 →
↑
1 219.79 m
↓
↑
1 219.79 m
↓
N  3.151486°
E  2.988281°		 ← 1 219.73 m →
1 487 806 m²		 N  3.151486°
E  2.999267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508316040039062 y=0.491226196289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508316040039062 × 215)
    floor (0.508316040039062 × 32768)
    floor (16656.5)     		tx = 16656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491226196289062 × 215)
    floor (0.491226196289062 × 32768)
    floor (16096.5)     		ty = 16096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16656 / 16096 ti = "15/16656/16096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16656/16096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16656 ÷ 215
    16656 ÷ 32768     		x = 0.50830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16096 ÷ 215
    16096 ÷ 32768     		y = 0.4912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50830078125 × 2 - 1) × π
    0.0166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05215535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4912109375 × 2 - 1) × π
    0.017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0552233083623047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05215535} λ = 0.05215535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0552233083623047))-π/2
    2×atan(1.05677657537488)-π/2
    2×0.812995794121937-π/2
    1.62599158824387-1.57079632675     		φ = 0.05519526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05215535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05519526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.162455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16656 KachelY 16096 0.05215535 0.05519526 2.988281 3.162455
    Oben rechts KachelX + 1 16657 KachelY 16096 0.05234709 0.05519526 2.999267 3.162455
    Unten links KachelX 16656 KachelY + 1 16097 0.05215535 0.05500380 2.988281 3.151486
    Unten rechts KachelX + 1 16657 KachelY + 1 16097 0.05234709 0.05500380 2.999267 3.151486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05519526-0.05500380) × R
    0.000191460000000004 × 6371000     		dl = 1219.79166000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05519526-0.05500380) × R
    0.000191460000000004 × 6371000     		dr = 1219.79166000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05215535-0.05234709) × cos(0.05519526) × R
    0.000191739999999996 × 0.998477128316837 × 6371000     		do = 1219.71523720126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05215535-0.05234709) × cos(0.05500380) × R
    0.000191739999999996 × 0.998487672335744 × 6371000     		du = 1219.72811751685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05519526)-sin(0.05500380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998477128316837-0.998487672335744)×R²
    abs(0.05234709-0.05215535)×1.05440189072104e-05×R²
    0.000191739999999996×1.05440189072104e-05×6371000²
    0.000191739999999996×1.05440189072104e-05×40589641000000     		ar = 1487806.33410873m²