Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16654 / 16094
↖ ↑ ↗
← N  3.184395°
E  2.966309°		 ← 1 219.75 m → N  3.184395°
E  2.977295°		 →
↑
1 219.73 m
↓
↑
1 219.73 m
↓
N  3.173425°
E  2.966309°		 ← 1 219.77 m →
1 487 775 m²		 N  3.173425°
E  2.977295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508255004882812 y=0.491165161132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508255004882812 × 215)
    floor (0.508255004882812 × 32768)
    floor (16654.5)     		tx = 16654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491165161132812 × 215)
    floor (0.491165161132812 × 32768)
    floor (16094.5)     		ty = 16094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16654 / 16094 ti = "15/16654/16094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16654/16094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16654 ÷ 215
    16654 ÷ 32768     		x = 0.50823974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16094 ÷ 215
    16094 ÷ 32768     		y = 0.49114990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50823974609375 × 2 - 1) × π
    0.0164794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05177185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49114990234375 × 2 - 1) × π
    0.0177001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0556068035592651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05177185} λ = 0.05177185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0556068035592651))-π/2
    2×atan(1.05718192183504)-π/2
    2×0.813187247683497-π/2
    1.62637449536699-1.57079632675     		φ = 0.05557817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05177185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.966309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05557817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.184395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16654 KachelY 16094 0.05177185 0.05557817 2.966309 3.184395
    Oben rechts KachelX + 1 16655 KachelY 16094 0.05196360 0.05557817 2.977295 3.184395
    Unten links KachelX 16654 KachelY + 1 16095 0.05177185 0.05538672 2.966309 3.173425
    Unten rechts KachelX + 1 16655 KachelY + 1 16095 0.05196360 0.05538672 2.977295 3.173425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05557817-0.05538672) × R
    0.000191450000000003 × 6371000     		dl = 1219.72795000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05557817-0.05538672) × R
    0.000191450000000003 × 6371000     		dr = 1219.72795000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05177185-0.05196360) × cos(0.05557817) × R
    0.000191749999999997 × 0.998455931031583 × 6371000     		do = 1219.75295474346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05177185-0.05196360) × cos(0.05538672) × R
    0.000191749999999997 × 0.998466547696822 × 6371000     		du = 1219.76592447842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05557817)-sin(0.05538672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998455931031583-0.998466547696822)×R²
    abs(0.05196360-0.05177185)×1.06166652390494e-05×R²
    0.000191749999999997×1.06166652390494e-05×6371000²
    0.000191749999999997×1.06166652390494e-05×40589641000000     		ar = 1487774.68531413m²