Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16652 / 16669
↖ ↑ ↗
← S  3.129546°
E  2.944336°		 ← 1 219.75 m → S  3.129546°
E  2.955322°		 →
↑
1 219.79 m
↓
↑
1 219.79 m
↓
S  3.140516°
E  2.944336°		 ← 1 219.74 m →
1 487 838 m²		 S  3.140516°
E  2.955322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508193969726562 y=0.508712768554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508193969726562 × 215)
    floor (0.508193969726562 × 32768)
    floor (16652.5)     		tx = 16652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508712768554688 × 215)
    floor (0.508712768554688 × 32768)
    floor (16669.5)     		ty = 16669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16652 / 16669 ti = "15/16652/16669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16652/16669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16652 ÷ 215
    16652 ÷ 32768     		x = 0.5081787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16669 ÷ 215
    16669 ÷ 32768     		y = 0.508697509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5081787109375 × 2 - 1) × π
    0.016357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05138836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508697509765625 × 2 - 1) × π
    -0.01739501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.054648065566864
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05138836} λ = 0.05138836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.054648065566864))-π/2
    2×atan(0.946818307289183)-π/2
    2×0.758087720601251-π/2
    1.5161754412025-1.57079632675     		φ = -0.05462089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05138836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.944336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05462089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.129546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16652 KachelY 16669 0.05138836 -0.05462089 2.944336 -3.129546
    Oben rechts KachelX + 1 16653 KachelY 16669 0.05158010 -0.05462089 2.955322 -3.129546
    Unten links KachelX 16652 KachelY + 1 16670 0.05138836 -0.05481235 2.944336 -3.140516
    Unten rechts KachelX + 1 16653 KachelY + 1 16670 0.05158010 -0.05481235 2.955322 -3.140516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05462089--0.05481235) × R
    0.000191460000000004 × 6371000     		dl = 1219.79166000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05462089--0.05481235) × R
    0.000191460000000004 × 6371000     		dr = 1219.79166000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05138836-0.05158010) × cos(-0.05462089) × R
    0.000191739999999996 × 0.998508650022754 × 6371000     		do = 1219.75374334619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05138836-0.05158010) × cos(-0.05481235) × R
    0.000191739999999996 × 0.998498179205308 × 6371000     		du = 1219.74095245171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05462089)-sin(-0.05481235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998508650022754-0.998498179205308)×R²
    abs(0.05158010-0.05138836)×1.04708174454293e-05×R²
    0.000191739999999996×1.04708174454293e-05×6371000²
    0.000191739999999996×1.04708174454293e-05×40589641000000     		ar = 1487837.64681928m²