Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16652 / 16084
↖ ↑ ↗
← N  3.294082°
E  2.944336°		 ← 1 219.56 m → N  3.294082°
E  2.955322°		 →
↑
1 219.60 m
↓
↑
1 219.60 m
↓
N  3.283114°
E  2.944336°		 ← 1 219.57 m →
1 487 381 m²		 N  3.283114°
E  2.955322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508193969726562 y=0.490859985351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508193969726562 × 215)
    floor (0.508193969726562 × 32768)
    floor (16652.5)     		tx = 16652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490859985351562 × 215)
    floor (0.490859985351562 × 32768)
    floor (16084.5)     		ty = 16084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16652 / 16084 ti = "15/16652/16084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16652/16084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16652 ÷ 215
    16652 ÷ 32768     		x = 0.5081787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16084 ÷ 215
    16084 ÷ 32768     		y = 0.4908447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5081787109375 × 2 - 1) × π
    0.016357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05138836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4908447265625 × 2 - 1) × π
    0.018310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0575242795440674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05138836} λ = 0.05138836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0575242795440674))-π/2
    2×atan(1.05921098750238)-π/2
    2×0.814144453754373-π/2
    1.62828890750875-1.57079632675     		φ = 0.05749258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05138836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.944336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05749258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.294082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16652 KachelY 16084 0.05138836 0.05749258 2.944336 3.294082
    Oben rechts KachelX + 1 16653 KachelY 16084 0.05158010 0.05749258 2.955322 3.294082
    Unten links KachelX 16652 KachelY + 1 16085 0.05138836 0.05730115 2.944336 3.283114
    Unten rechts KachelX + 1 16653 KachelY + 1 16085 0.05158010 0.05730115 2.955322 3.283114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05749258-0.05730115) × R
    0.000191429999999999 × 6371000     		dl = 1219.60053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05749258-0.05730115) × R
    0.000191429999999999 × 6371000     		dr = 1219.60053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05138836-0.05158010) × cos(0.05749258) × R
    0.000191739999999996 × 0.998347756807638 × 6371000     		do = 1219.55720013005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05138836-0.05158010) × cos(0.05730115) × R
    0.000191739999999996 × 0.998358738257622 × 6371000     		du = 1219.57061480075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05749258)-sin(0.05730115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998347756807638-0.998358738257622)×R²
    abs(0.05158010-0.05138836)×1.09814499835714e-05×R²
    0.000191739999999996×1.09814499835714e-05×6371000²
    0.000191739999999996×1.09814499835714e-05×40589641000000     		ar = 1487380.79245585m²