Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16651 / 16089
↖ ↑ ↗
← N  3.239240°
E  2.933350°		 ← 1 219.69 m → N  3.239240°
E  2.944336°		 →
↑
1 219.66 m
↓
↑
1 219.66 m
↓
N  3.228271°
E  2.933350°		 ← 1 219.70 m →
1 487 617 m²		 N  3.228271°
E  2.944336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508163452148438 y=0.491012573242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508163452148438 × 215)
    floor (0.508163452148438 × 32768)
    floor (16651.5)     		tx = 16651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491012573242188 × 215)
    floor (0.491012573242188 × 32768)
    floor (16089.5)     		ty = 16089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16651 / 16089 ti = "15/16651/16089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16651/16089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16651 ÷ 215
    16651 ÷ 32768     		x = 0.508148193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16089 ÷ 215
    16089 ÷ 32768     		y = 0.490997314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508148193359375 × 2 - 1) × π
    0.01629638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05119661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490997314453125 × 2 - 1) × π
    0.01800537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0565655415516663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05119661} λ = 0.05119661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0565655415516663))-π/2
    2×atan(1.05819596833316)-π/2
    2×0.813665863682796-π/2
    1.62733172736559-1.57079632675     		φ = 0.05653540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05119661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.933350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05653540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.239240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16651 KachelY 16089 0.05119661 0.05653540 2.933350 3.239240
    Oben rechts KachelX + 1 16652 KachelY 16089 0.05138836 0.05653540 2.944336 3.239240
    Unten links KachelX 16651 KachelY + 1 16090 0.05119661 0.05634396 2.933350 3.228271
    Unten rechts KachelX + 1 16652 KachelY + 1 16090 0.05138836 0.05634396 2.944336 3.228271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05653540-0.05634396) × R
    0.000191440000000001 × 6371000     		dl = 1219.66424000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05653540-0.05634396) × R
    0.000191440000000001 × 6371000     		dr = 1219.66424000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05119661-0.05138836) × cos(0.05653540) × R
    0.000191750000000004 × 0.998402299895711 × 6371000     		do = 1219.6874368429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05119661-0.05138836) × cos(0.05634396) × R
    0.000191750000000004 × 0.998413098972605 × 6371000     		du = 1219.7006294191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05653540)-sin(0.05634396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998402299895711-0.998413098972605)×R²
    abs(0.05138836-0.05119661)×1.07990768938304e-05×R²
    0.000191750000000004×1.07990768938304e-05×6371000²
    0.000191750000000004×1.07990768938304e-05×40589641000000     		ar = 1487617.20049463m²