Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16649 / 16103
↖ ↑ ↗
← N  3.085665°
E  2.911377°		 ← 1 219.87 m → N  3.085665°
E  2.922363°		 →
↑
1 219.86 m
↓
↑
1 219.86 m
↓
N  3.074695°
E  2.911377°		 ← 1 219.88 m →
1 488 070 m²		 N  3.074695°
E  2.922363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508102416992188 y=0.491439819335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508102416992188 × 215)
    floor (0.508102416992188 × 32768)
    floor (16649.5)     		tx = 16649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491439819335938 × 215)
    floor (0.491439819335938 × 32768)
    floor (16103.5)     		ty = 16103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16649 / 16103 ti = "15/16649/16103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16649/16103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16649 ÷ 215
    16649 ÷ 32768     		x = 0.508087158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16103 ÷ 215
    16103 ÷ 32768     		y = 0.491424560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508087158203125 × 2 - 1) × π
    0.01617431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05081311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491424560546875 × 2 - 1) × π
    0.01715087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0538810751729431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05081311} λ = 0.05081311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0538810751729431))-π/2
    2×atan(1.05535908629493)-π/2
    2×0.812325674942421-π/2
    1.62465134988484-1.57079632675     		φ = 0.05385502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05081311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.911377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05385502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.085665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16649 KachelY 16103 0.05081311 0.05385502 2.911377 3.085665
    Oben rechts KachelX + 1 16650 KachelY 16103 0.05100486 0.05385502 2.922363 3.085665
    Unten links KachelX 16649 KachelY + 1 16104 0.05081311 0.05366355 2.911377 3.074695
    Unten rechts KachelX + 1 16650 KachelY + 1 16104 0.05100486 0.05366355 2.922363 3.074695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05385502-0.05366355) × R
    0.000191470000000006 × 6371000     		dl = 1219.85537000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05385502-0.05366355) × R
    0.000191470000000006 × 6371000     		dr = 1219.85537000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05081311-0.05100486) × cos(0.05385502) × R
    0.000191749999999997 × 0.998550168880956 × 6371000     		do = 1219.86807939909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05081311-0.05100486) × cos(0.05366355) × R
    0.000191749999999997 × 0.998560457213916 × 6371000     		du = 1219.88064803045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05385502)-sin(0.05366355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998550168880956-0.998560457213916)×R²
    abs(0.05100486-0.05081311)×1.0288332960573e-05×R²
    0.000191749999999997×1.0288332960573e-05×6371000²
    0.000191749999999997×1.0288332960573e-05×40589641000000     		ar = 1488070.297849m²