Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16648 / 16104
↖ ↑ ↗
← N  3.074695°
E  2.900391°		 ← 1 219.82 m → N  3.074695°
E  2.911377°		 →
↑
1 219.86 m
↓
↑
1 219.86 m
↓
N  3.063725°
E  2.900391°		 ← 1 219.83 m →
1 488 008 m²		 N  3.063725°
E  2.911377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508071899414062 y=0.491470336914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508071899414062 × 215)
    floor (0.508071899414062 × 32768)
    floor (16648.5)     		tx = 16648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491470336914062 × 215)
    floor (0.491470336914062 × 32768)
    floor (16104.5)     		ty = 16104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16648 / 16104 ti = "15/16648/16104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16648/16104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16648 ÷ 215
    16648 ÷ 32768     		x = 0.508056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16104 ÷ 215
    16104 ÷ 32768     		y = 0.491455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508056640625 × 2 - 1) × π
    0.01611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05062137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491455078125 × 2 - 1) × π
    0.01708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0536893275744629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05062137} λ = 0.05062137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0536893275744629))-π/2
    2×atan(1.05515674312463)-π/2
    2×0.81222993965053-π/2
    1.62445987930106-1.57079632675     		φ = 0.05366355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05062137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05366355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.074695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16648 KachelY 16104 0.05062137 0.05366355 2.900391 3.074695
    Oben rechts KachelX + 1 16649 KachelY 16104 0.05081311 0.05366355 2.911377 3.074695
    Unten links KachelX 16648 KachelY + 1 16105 0.05062137 0.05347208 2.900391 3.063725
    Unten rechts KachelX + 1 16649 KachelY + 1 16105 0.05081311 0.05347208 2.911377 3.063725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05366355-0.05347208) × R
    0.000191469999999999 × 6371000     		dl = 1219.85536999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05366355-0.05347208) × R
    0.000191469999999999 × 6371000     		dr = 1219.85536999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05062137-0.05081311) × cos(0.05366355) × R
    0.000191740000000003 × 0.998560457213916 × 6371000     		do = 1219.81702974375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05062137-0.05081311) × cos(0.05347208) × R
    0.000191740000000003 × 0.998570708938891 × 6371000     		du = 1219.82955300023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05366355)-sin(0.05347208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998560457213916-0.998570708938891)×R²
    abs(0.05081311-0.05062137)×1.0251724974597e-05×R²
    0.000191740000000003×1.0251724974597e-05×6371000²
    0.000191740000000003×1.0251724974597e-05×40589641000000     		ar = 1488007.99697714m²