Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16647 / 16078
↖ ↑ ↗
← N  3.359889°
E  2.889404°		 ← 1 219.54 m → N  3.359889°
E  2.900391°		 →
↑
1 219.54 m
↓
↑
1 219.54 m
↓
N  3.348922°
E  2.889404°		 ← 1 219.55 m →
1 487 282 m²		 N  3.348922°
E  2.900391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508041381835938 y=0.490676879882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508041381835938 × 215)
    floor (0.508041381835938 × 32768)
    floor (16647.5)     		tx = 16647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490676879882812 × 215)
    floor (0.490676879882812 × 32768)
    floor (16078.5)     		ty = 16078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16647 / 16078 ti = "15/16647/16078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16647/16078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16647 ÷ 215
    16647 ÷ 32768     		x = 0.508026123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16078 ÷ 215
    16078 ÷ 32768     		y = 0.49066162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508026123046875 × 2 - 1) × π
    0.01605224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05042962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49066162109375 × 2 - 1) × π
    0.0186767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0586747651349487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05042962} λ = 0.05042962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0586747651349487))-π/2
    2×atan(1.060430295745)-π/2
    2×0.814718727000308-π/2
    1.62943745400062-1.57079632675     		φ = 0.05864113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05042962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.889404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05864113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.359889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16647 KachelY 16078 0.05042962 0.05864113 2.889404 3.359889
    Oben rechts KachelX + 1 16648 KachelY 16078 0.05062137 0.05864113 2.900391 3.359889
    Unten links KachelX 16647 KachelY + 1 16079 0.05042962 0.05844971 2.889404 3.348922
    Unten rechts KachelX + 1 16648 KachelY + 1 16079 0.05062137 0.05844971 2.900391 3.348922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05864113-0.05844971) × R
    0.000191419999999998 × 6371000     		dl = 1219.53681999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05864113-0.05844971) × R
    0.000191419999999998 × 6371000     		dr = 1219.53681999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05042962-0.05062137) × cos(0.05864113) × R
    0.000191749999999997 × 0.998281101597292 × 6371000     		do = 1219.53937624447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05042962-0.05062137) × cos(0.05844971) × R
    0.000191749999999997 × 0.99829230196068 × 6371000     		du = 1219.553059048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05864113)-sin(0.05844971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998281101597292-0.99829230196068)×R²
    abs(0.05062137-0.05042962)×1.12003633886415e-05×R²
    0.000191749999999997×1.12003633886415e-05×6371000²
    0.000191749999999997×1.12003633886415e-05×40589641000000     		ar = 1487281.52065267m²