Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16647 / 16055
↖ ↑ ↗
← N  3.612107°
E  2.889404°		 ← 1 219.21 m → N  3.612107°
E  2.900391°		 →
↑
1 219.22 m
↓
↑
1 219.22 m
↓
N  3.601142°
E  2.889404°		 ← 1 219.23 m →
1 486 495 m²		 N  3.601142°
E  2.900391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508041381835938 y=0.489974975585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508041381835938 × 215)
    floor (0.508041381835938 × 32768)
    floor (16647.5)     		tx = 16647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.489974975585938 × 215)
    floor (0.489974975585938 × 32768)
    floor (16055.5)     		ty = 16055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16647 / 16055 ti = "15/16647/16055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16647/16055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16647 ÷ 215
    16647 ÷ 32768     		x = 0.508026123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16055 ÷ 215
    16055 ÷ 32768     		y = 0.489959716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508026123046875 × 2 - 1) × π
    0.01605224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05042962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.489959716796875 × 2 - 1) × π
    0.02008056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0630849598999939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05042962} λ = 0.05042962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0630849598999939))-π/2
    2×atan(1.06511732764895)-π/2
    2×0.816919742473765-π/2
    1.63383948494753-1.57079632675     		φ = 0.06304316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05042962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.889404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.06304316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.612107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16647 KachelY 16055 0.05042962 0.06304316 2.889404 3.612107
    Oben rechts KachelX + 1 16648 KachelY 16055 0.05062137 0.06304316 2.900391 3.612107
    Unten links KachelX 16647 KachelY + 1 16056 0.05042962 0.06285179 2.889404 3.601142
    Unten rechts KachelX + 1 16648 KachelY + 1 16056 0.05062137 0.06285179 2.900391 3.601142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.06304316-0.06285179) × R
    0.000191369999999996 × 6371000     		dl = 1219.21826999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.06304316-0.06285179) × R
    0.000191369999999996 × 6371000     		dr = 1219.21826999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05042962-0.05062137) × cos(0.06304316) × R
    0.000191749999999997 × 0.998013438075313 × 6371000     		do = 1219.21238798023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05042962-0.05062137) × cos(0.06285179) × R
    0.000191749999999997 × 0.998025476379844 × 6371000     		du = 1219.22709444555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.06304316)-sin(0.06285179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998013438075313-0.998025476379844)×R²
    abs(0.05062137-0.05042962)×1.20383045302264e-05×R²
    0.000191749999999997×1.20383045302264e-05×6371000²
    0.000191749999999997×1.20383045302264e-05×40589641000000     		ar = 1486494.98816797m²