Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16641 / 16106
↖ ↑ ↗
← N  3.052754°
E  2.823486°		 ← 1 219.91 m → N  3.052754°
E  2.834473°		 →
↑
1 219.92 m
↓
↑
1 219.92 m
↓
N  3.041783°
E  2.823486°		 ← 1 219.92 m →
1 488 194 m²		 N  3.041783°
E  2.834473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507858276367188 y=0.491531372070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507858276367188 × 215)
    floor (0.507858276367188 × 32768)
    floor (16641.5)     		tx = 16641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491531372070312 × 215)
    floor (0.491531372070312 × 32768)
    floor (16106.5)     		ty = 16106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16641 / 16106 ti = "15/16641/16106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16641/16106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16641 ÷ 215
    16641 ÷ 32768     		x = 0.507843017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16106 ÷ 215
    16106 ÷ 32768     		y = 0.49151611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507843017578125 × 2 - 1) × π
    0.01568603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04927913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49151611328125 × 2 - 1) × π
    0.0169677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0533058323775024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04927913} λ = 0.04927913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0533058323775024))-π/2
    2×atan(1.05475217316188)-π/2
    2×0.812038466116345-π/2
    1.62407693223269-1.57079632675     		φ = 0.05328061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04927913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.823486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05328061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.052754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16641 KachelY 16106 0.04927913 0.05328061 2.823486 3.052754
    Oben rechts KachelX + 1 16642 KachelY 16106 0.04947088 0.05328061 2.834473 3.052754
    Unten links KachelX 16641 KachelY + 1 16107 0.04927913 0.05308913 2.823486 3.041783
    Unten rechts KachelX + 1 16642 KachelY + 1 16107 0.04947088 0.05308913 2.834473 3.041783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05328061-0.05308913) × R
    0.000191480000000001 × 6371000     		dl = 1219.91908000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05328061-0.05308913) × R
    0.000191480000000001 × 6371000     		dr = 1219.91908000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04927913-0.04947088) × cos(0.05328061) × R
    0.000191750000000004 × 0.998580924055504 × 6371000     		do = 1219.9056511275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04927913-0.04947088) × cos(0.05308913) × R
    0.000191750000000004 × 0.998591103094022 × 6371000     		du = 1219.91808624048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05328061)-sin(0.05308913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998580924055504-0.998591103094022)×R²
    abs(0.04947088-0.04927913)×1.01790385182987e-05×R²
    0.000191750000000004×1.01790385182987e-05×6371000²
    0.000191750000000004×1.01790385182987e-05×40589641000000     		ar = 1488193.76907308m²