Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16641 / 11013
↖ ↑ ↗
← N 50.701676°
E  2.823486°		 ← 773.74 m → N 50.701676°
E  2.834473°		 →
↑
773.76 m
↓
↑
773.76 m
↓
N 50.694718°
E  2.823486°		 ← 773.85 m →
598 728 m²		 N 50.694718°
E  2.834473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507858276367188 y=0.336105346679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507858276367188 × 215)
    floor (0.507858276367188 × 32768)
    floor (16641.5)     		tx = 16641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336105346679688 × 215)
    floor (0.336105346679688 × 32768)
    floor (11013.5)     		ty = 11013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16641 / 11013 ti = "15/16641/11013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16641/11013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16641 ÷ 215
    16641 ÷ 32768     		x = 0.507843017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11013 ÷ 215
    11013 ÷ 32768     		y = 0.336090087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507843017578125 × 2 - 1) × π
    0.01568603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04927913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336090087890625 × 2 - 1) × π
    0.32781982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02987635143729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04927913} λ = 0.04927913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02987635143729))-π/2
    2×atan(2.80071950834637)-π/2
    2×1.22785376017591-π/2
    2.45570752035183-1.57079632675     		φ = 0.88491119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04927913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.823486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88491119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.701676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16641 KachelY 11013 0.04927913 0.88491119 2.823486 50.701676
    Oben rechts KachelX + 1 16642 KachelY 11013 0.04947088 0.88491119 2.834473 50.701676
    Unten links KachelX 16641 KachelY + 1 11014 0.04927913 0.88478974 2.823486 50.694718
    Unten rechts KachelX + 1 16642 KachelY + 1 11014 0.04947088 0.88478974 2.834473 50.694718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88491119-0.88478974) × R
    0.000121449999999967 × 6371000     		dl = 773.757949999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88491119-0.88478974) × R
    0.000121449999999967 × 6371000     		dr = 773.757949999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04927913-0.04947088) × cos(0.88491119) × R
    0.000191750000000004 × 0.633358230380886 × 6371000     		do = 773.735273543851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04927913-0.04947088) × cos(0.88478974) × R
    0.000191750000000004 × 0.633452210853778 × 6371000     		du = 773.850083778269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88491119)-sin(0.88478974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633358230380886-0.633452210853778)×R²
    abs(0.04947088-0.04927913)×9.39804728914417e-05×R²
    0.000191750000000004×9.39804728914417e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.39804728914417e-05×40589641000000     		ar = 598728.237501736m²