Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16637 / 17157
↖ ↑ ↗
← S  8.461505°
E  2.779541°		 ← 1 208.34 m → S  8.461505°
E  2.790527°		 →
↑
1 208.32 m
↓
↑
1 208.32 m
↓
S  8.472372°
E  2.779541°		 ← 1 208.31 m →
1 460 047 m²		 S  8.472372°
E  2.790527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507736206054688 y=0.523605346679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507736206054688 × 215)
    floor (0.507736206054688 × 32768)
    floor (16637.5)     		tx = 16637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523605346679688 × 215)
    floor (0.523605346679688 × 32768)
    floor (17157.5)     		ty = 17157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16637 / 17157 ti = "15/16637/17157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16637/17157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16637 ÷ 215
    16637 ÷ 32768     		x = 0.507720947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17157 ÷ 215
    17157 ÷ 32768     		y = 0.523590087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507720947265625 × 2 - 1) × π
    0.01544189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.04851214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523590087890625 × 2 - 1) × π
    -0.04718017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.148220893625214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04851214} λ = 0.04851214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.148220893625214))-π/2
    2×atan(0.862240630445749)-π/2
    2×0.711557596373233-π/2
    1.42311519274647-1.57079632675     		φ = -0.14768113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04851214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.779541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14768113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.461505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16637 KachelY 17157 0.04851214 -0.14768113 2.779541 -8.461505
    Oben rechts KachelX + 1 16638 KachelY 17157 0.04870389 -0.14768113 2.790527 -8.461505
    Unten links KachelX 16637 KachelY + 1 17158 0.04851214 -0.14787079 2.779541 -8.472372
    Unten rechts KachelX + 1 16638 KachelY + 1 17158 0.04870389 -0.14787079 2.790527 -8.472372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14768113--0.14787079) × R
    0.000189660000000008 × 6371000     		dl = 1208.32386000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14768113--0.14787079) × R
    0.000189660000000008 × 6371000     		dr = 1208.32386000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04851214-0.04870389) × cos(-0.14768113) × R
    0.000191749999999997 × 0.989114946839733 × 6371000     		do = 1208.34164182107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04851214-0.04870389) × cos(-0.14787079) × R
    0.000191749999999997 × 0.989087021548261 × 6371000     		du = 1208.30752718894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14768113)-sin(-0.14787079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989114946839733-0.989087021548261)×R²
    abs(0.04870389-0.04851214)×2.79252914723305e-05×R²
    0.000191749999999997×2.79252914723305e-05×6371000²
    0.000191749999999997×2.79252914723305e-05×40589641000000     		ar = 1460047.43045863m²