Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16637 / 17155
↖ ↑ ↗
← S  8.439771°
E  2.779541°		 ← 1 208.41 m → S  8.439771°
E  2.790527°		 →
↑
1 208.39 m
↓
↑
1 208.39 m
↓
S  8.450639°
E  2.779541°		 ← 1 208.38 m →
1 460 207 m²		 S  8.450639°
E  2.790527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507736206054688 y=0.523544311523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507736206054688 × 215)
    floor (0.507736206054688 × 32768)
    floor (16637.5)     		tx = 16637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523544311523438 × 215)
    floor (0.523544311523438 × 32768)
    floor (17155.5)     		ty = 17155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16637 / 17155 ti = "15/16637/17155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16637/17155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16637 ÷ 215
    16637 ÷ 32768     		x = 0.507720947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17155 ÷ 215
    17155 ÷ 32768     		y = 0.523529052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507720947265625 × 2 - 1) × π
    0.01544189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.04851214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523529052734375 × 2 - 1) × π
    -0.04705810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.147837398428253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04851214} λ = 0.04851214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.147837398428253))-π/2
    2×atan(0.862571358998501)-π/2
    2×0.711747262135557-π/2
    1.42349452427111-1.57079632675     		φ = -0.14730180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04851214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.779541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14730180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.439771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16637 KachelY 17155 0.04851214 -0.14730180 2.779541 -8.439771
    Oben rechts KachelX + 1 16638 KachelY 17155 0.04870389 -0.14730180 2.790527 -8.439771
    Unten links KachelX 16637 KachelY + 1 17156 0.04851214 -0.14749147 2.779541 -8.450639
    Unten rechts KachelX + 1 16638 KachelY + 1 17156 0.04870389 -0.14749147 2.790527 -8.450639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14730180--0.14749147) × R
    0.000189670000000003 × 6371000     		dl = 1208.38757000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14730180--0.14749147) × R
    0.000189670000000003 × 6371000     		dr = 1208.38757000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04851214-0.04870389) × cos(-0.14730180) × R
    0.000191749999999997 × 0.989170692151261 × 6371000     		do = 1208.40974248163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04851214-0.04870389) × cos(-0.14749147) × R
    0.000191749999999997 × 0.989142836551835 × 6371000     		du = 1208.37571298804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14730180)-sin(-0.14749147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989170692151261-0.989142836551835)×R²
    abs(0.04870389-0.04851214)×2.78555994257523e-05×R²
    0.000191749999999997×2.78555994257523e-05×6371000²
    0.000191749999999997×2.78555994257523e-05×40589641000000     		ar = 1460206.75625077m²