Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16637 / 16108
↖ ↑ ↗
← N  3.030812°
E  2.779541°		 ← 1 219.93 m → N  3.030812°
E  2.790527°		 →
↑
1 219.92 m
↓
↑
1 219.92 m
↓
N  3.019841°
E  2.779541°		 ← 1 219.94 m →
1 488 224 m²		 N  3.019841°
E  2.790527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507736206054688 y=0.491592407226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507736206054688 × 215)
    floor (0.507736206054688 × 32768)
    floor (16637.5)     		tx = 16637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491592407226562 × 215)
    floor (0.491592407226562 × 32768)
    floor (16108.5)     		ty = 16108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16637 / 16108 ti = "15/16637/16108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16637/16108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16637 ÷ 215
    16637 ÷ 32768     		x = 0.507720947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16108 ÷ 215
    16108 ÷ 32768     		y = 0.4915771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507720947265625 × 2 - 1) × π
    0.01544189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.04851214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4915771484375 × 2 - 1) × π
    0.016845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.052922337180542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04851214} λ = 0.04851214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.052922337180542))-π/2
    2×atan(1.05434775832002)-π/2
    2×0.811846988671619-π/2
    1.62369397734324-1.57079632675     		φ = 0.05289765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04851214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.779541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05289765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.030812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16637 KachelY 16108 0.04851214 0.05289765 2.779541 3.030812
    Oben rechts KachelX + 1 16638 KachelY 16108 0.04870389 0.05289765 2.790527 3.030812
    Unten links KachelX 16637 KachelY + 1 16109 0.04851214 0.05270617 2.779541 3.019841
    Unten rechts KachelX + 1 16638 KachelY + 1 16109 0.04870389 0.05270617 2.790527 3.019841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05289765-0.05270617) × R
    0.000191480000000001 × 6371000     		dl = 1219.91908000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05289765-0.05270617) × R
    0.000191480000000001 × 6371000     		dr = 1219.91908000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04851214-0.04870389) × cos(0.05289765) × R
    0.000191749999999997 × 0.998601245519606 × 6371000     		do = 1219.93047662562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04851214-0.04870389) × cos(0.05270617) × R
    0.000191749999999997 × 0.998611351331886 × 6371000     		du = 1219.94282228256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05289765)-sin(0.05270617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998601245519606-0.998611351331886)×R²
    abs(0.04870389-0.04851214)×1.01058122792264e-05×R²
    0.000191749999999997×1.01058122792264e-05×6371000²
    0.000191749999999997×1.01058122792264e-05×40589641000000     		ar = 1488223.99960743m²