Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16631 / 16073
↖ ↑ ↗
← N  3.414725°
E  2.713623°		 ← 1 219.41 m → N  3.414725°
E  2.724609°		 →
↑
1 219.47 m
↓
↑
1 219.47 m
↓
N  3.403758°
E  2.713623°		 ← 1 219.42 m →
1 487 042 m²		 N  3.403758°
E  2.724609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507553100585938 y=0.490524291992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507553100585938 × 215)
    floor (0.507553100585938 × 32768)
    floor (16631.5)     		tx = 16631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490524291992188 × 215)
    floor (0.490524291992188 × 32768)
    floor (16073.5)     		ty = 16073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16631 / 16073 ti = "15/16631/16073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16631/16073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16631 ÷ 215
    16631 ÷ 32768     		x = 0.507537841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16073 ÷ 215
    16073 ÷ 32768     		y = 0.490509033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507537841796875 × 2 - 1) × π
    0.01507568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04736166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490509033203125 × 2 - 1) × π
    0.01898193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0596335031273499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04736166} λ = 0.04736166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0596335031273499))-π/2
    2×atan(1.06144745807599)-π/2
    2×0.815197258492637-π/2
    1.63039451698527-1.57079632675     		φ = 0.05959819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04736166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.713623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05959819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.414725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16631 KachelY 16073 0.04736166 0.05959819 2.713623 3.414725
    Oben rechts KachelX + 1 16632 KachelY 16073 0.04755340 0.05959819 2.724609 3.414725
    Unten links KachelX 16631 KachelY + 1 16074 0.04736166 0.05940678 2.713623 3.403758
    Unten rechts KachelX + 1 16632 KachelY + 1 16074 0.04755340 0.05940678 2.724609 3.403758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05959819-0.05940678) × R
    0.000191410000000003 × 6371000     		dl = 1219.47311000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05959819-0.05940678) × R
    0.000191410000000003 × 6371000     		dr = 1219.47311000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04736166-0.04755340) × cos(0.05959819) × R
    0.000191740000000003 × 0.998224553491625 × 6371000     		do = 1219.40669797281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04736166-0.04755340) × cos(0.05940678) × R
    0.000191740000000003 × 0.998235936142686 × 6371000     		du = 1219.42060274093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05959819)-sin(0.05940678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998224553491625-0.998235936142686)×R²
    abs(0.04755340-0.04736166)×1.13826510614867e-05×R²
    0.000191740000000003×1.13826510614867e-05×6371000²
    0.000191740000000003×1.13826510614867e-05×40589641000000     		ar = 1487042.16111731m²