Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1663 / 1927
↖ ↑ ↗
← S 82.831480°
E112.324219°		 ← 2 439.11 m → S 82.831480°
E112.500000°		 →
↑
2 435.44 m
↓
↑
2 435.44 m
↓
S 82.853382°
E112.324219°		 ← 2 431.69 m →
5 931 272 m²		 S 82.853382°
E112.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812255859375 y=0.941162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812255859375 × 211)
    floor (0.812255859375 × 2048)
    floor (1663.5)     		tx = 1663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.941162109375 × 211)
    floor (0.941162109375 × 2048)
    floor (1927.5)     		ty = 1927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1663 / 1927 ti = "11/1663/1927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1663/1927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1663 ÷ 211
    1663 ÷ 2048     		x = 0.81201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1927 ÷ 211
    1927 ÷ 2048     		y = 0.94091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81201171875 × 2 - 1) × π
    0.6240234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.96042745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.94091796875 × 2 - 1) × π
    -0.8818359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.77036930284229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96042745} λ = 1.96042745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.77036930284229))-π/2
    2×atan(0.0626388677582385)-π/2
    2×0.0625571362159476-π/2
    0.125114272431895-1.57079632675     		φ = -1.44568205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96042745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.324219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44568205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.831480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1663 KachelY 1927 1.96042745 -1.44568205 112.324219 -82.831480
    Oben rechts KachelX + 1 1664 KachelY 1927 1.96349541 -1.44568205 112.500000 -82.831480
    Unten links KachelX 1663 KachelY + 1 1928 1.96042745 -1.44606432 112.324219 -82.853382
    Unten rechts KachelX + 1 1664 KachelY + 1 1928 1.96349541 -1.44606432 112.500000 -82.853382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44568205--1.44606432) × R
    0.000382270000000018 × 6371000     		dl = 2435.44217000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44568205--1.44606432) × R
    0.000382270000000018 × 6371000     		dr = 2435.44217000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96042745-1.96349541) × cos(-1.44568205) × R
    0.00306795999999987 × 0.12478811774022 × 6371000     		do = 2439.10520003717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96042745-1.96349541) × cos(-1.44606432) × R
    0.00306795999999987 × 0.124408826678382 × 6371000     		du = 2431.69158712264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44568205)-sin(-1.44606432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12478811774022-0.124408826678382)×R²
    abs(1.96349541-1.96042745)×0.00037929106183883×R²
    0.00306795999999987×0.00037929106183883×6371000²
    0.00306795999999987×0.00037929106183883×40589641000000     		ar = 5931272.02070427m²