Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16607 / 11096
↖ ↑ ↗
← N 50.120578°
E  2.449951°		 ← 783.28 m → N 50.120578°
E  2.460937°		 →
↑
783.31 m
↓
↑
783.31 m
↓
N 50.113534°
E  2.449951°		 ← 783.40 m →
613 602 m²		 N 50.113534°
E  2.460937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506820678710938 y=0.338638305664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506820678710938 × 215)
    floor (0.506820678710938 × 32768)
    floor (16607.5)     		tx = 16607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338638305664062 × 215)
    floor (0.338638305664062 × 32768)
    floor (11096.5)     		ty = 11096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16607 / 11096 ti = "15/16607/11096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16607/11096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16607 ÷ 215
    16607 ÷ 32768     		x = 0.506805419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11096 ÷ 215
    11096 ÷ 32768     		y = 0.338623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.506805419921875 × 2 - 1) × π
    0.01361083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04275971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338623046875 × 2 - 1) × π
    0.32275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01396130076343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04275971} λ = 0.04275971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01396130076343))-π/2
    2×atan(2.75649873673997)-π/2
    2×1.22278271879434-π/2
    2.44556543758868-1.57079632675     		φ = 0.87476911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04275971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.449951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87476911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.120578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16607 KachelY 11096 0.04275971 0.87476911 2.449951 50.120578
    Oben rechts KachelX + 1 16608 KachelY 11096 0.04295146 0.87476911 2.460937 50.120578
    Unten links KachelX 16607 KachelY + 1 11097 0.04275971 0.87464616 2.449951 50.113534
    Unten rechts KachelX + 1 16608 KachelY + 1 11097 0.04295146 0.87464616 2.460937 50.113534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87476911-0.87464616) × R
    0.000122950000000066 × 6371000     		dl = 783.314450000421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87476911-0.87464616) × R
    0.000122950000000066 × 6371000     		dr = 783.314450000421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04275971-0.04295146) × cos(0.87476911) × R
    0.000191749999999997 × 0.641174059195149 × 6371000     		do = 783.283396794607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04275971-0.04295146) × cos(0.87464616) × R
    0.000191749999999997 × 0.641268405623206 × 6371000     		du = 783.398654094219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87476911)-sin(0.87464616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641174059195149-0.641268405623206)×R²
    abs(0.04295146-0.04275971)×9.43464280571682e-05×R²
    0.000191749999999997×9.43464280571682e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.43464280571682e-05×40589641000000     		ar = 613602.345281521m²