Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16603 / 16043
↖ ↑ ↗
← N  3.743671°
E  2.406006°		 ← 1 219.03 m → N  3.743671°
E  2.416992°		 →
↑
1 219.03 m
↓
↑
1 219.03 m
↓
N  3.732708°
E  2.406006°		 ← 1 219.05 m →
1 486 043 m²		 N  3.732708°
E  2.416992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506698608398438 y=0.489608764648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506698608398438 × 215)
    floor (0.506698608398438 × 32768)
    floor (16603.5)     		tx = 16603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.489608764648438 × 215)
    floor (0.489608764648438 × 32768)
    floor (16043.5)     		ty = 16043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16603 / 16043 ti = "15/16603/16043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16603/16043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16603 ÷ 215
    16603 ÷ 32768     		x = 0.506683349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16043 ÷ 215
    16043 ÷ 32768     		y = 0.489593505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.506683349609375 × 2 - 1) × π
    0.01336669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04199272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.489593505859375 × 2 - 1) × π
    0.02081298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0653859310817566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04199272} λ = 0.04199272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0653859310817566))-π/2
    2×atan(1.06757095370393)-π/2
    2×0.818067858324874-π/2
    1.63613571664975-1.57079632675     		φ = 0.06533939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04199272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.406006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.06533939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.743671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16603 KachelY 16043 0.04199272 0.06533939 2.406006 3.743671
    Oben rechts KachelX + 1 16604 KachelY 16043 0.04218447 0.06533939 2.416992 3.743671
    Unten links KachelX 16603 KachelY + 1 16044 0.04199272 0.06514805 2.406006 3.732708
    Unten rechts KachelX + 1 16604 KachelY + 1 16044 0.04218447 0.06514805 2.416992 3.732708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.06533939-0.06514805) × R
    0.000191339999999998 × 6371000     		dl = 1219.02713999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.06533939-0.06514805) × R
    0.000191339999999998 × 6371000     		dr = 1219.02713999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04199272-0.04218447) × cos(0.06533939) × R
    0.000191750000000004 × 0.997866141381443 × 6371000     		do = 1219.03244455765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04199272-0.04218447) × cos(0.06514805) × R
    0.000191750000000004 × 0.997878616260019 × 6371000     		du = 1219.04768435896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.06533939)-sin(0.06514805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997866141381443-0.997878616260019)×R²
    abs(0.04218447-0.04199272)×1.24748785764739e-05×R²
    0.000191750000000004×1.24748785764739e-05×6371000²
    0.000191750000000004×1.24748785764739e-05×40589641000000     		ar = 1486042.92785581m²