Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16601 / 16044
↖ ↑ ↗
← N  3.732708°
E  2.384033°		 ← 1 219.05 m → N  3.732708°
E  2.395020°		 →
↑
1 219.03 m
↓
↑
1 219.03 m
↓
N  3.721745°
E  2.384033°		 ← 1 219.06 m →
1 486 061 m²		 N  3.721745°
E  2.395020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506637573242188 y=0.489639282226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506637573242188 × 215)
    floor (0.506637573242188 × 32768)
    floor (16601.5)     		tx = 16601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.489639282226562 × 215)
    floor (0.489639282226562 × 32768)
    floor (16044.5)     		ty = 16044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16601 / 16044 ti = "15/16601/16044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16601/16044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16601 ÷ 215
    16601 ÷ 32768     		x = 0.506622314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16044 ÷ 215
    16044 ÷ 32768     		y = 0.4896240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.506622314453125 × 2 - 1) × π
    0.01324462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04160923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4896240234375 × 2 - 1) × π
    0.020751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0651941834832764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04160923} λ = 0.04160923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0651941834832764))-π/2
    2×atan(1.06736626916186)-π/2
    2×0.817972188508469-π/2
    1.63594437701694-1.57079632675     		φ = 0.06514805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04160923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.384033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.06514805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.732708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16601 KachelY 16044 0.04160923 0.06514805 2.384033 3.732708
    Oben rechts KachelX + 1 16602 KachelY 16044 0.04180098 0.06514805 2.395020 3.732708
    Unten links KachelX 16601 KachelY + 1 16045 0.04160923 0.06495671 2.384033 3.721745
    Unten rechts KachelX + 1 16602 KachelY + 1 16045 0.04180098 0.06495671 2.395020 3.721745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.06514805-0.06495671) × R
    0.000191339999999998 × 6371000     		dl = 1219.02713999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.06514805-0.06495671) × R
    0.000191339999999998 × 6371000     		dr = 1219.02713999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04160923-0.04180098) × cos(0.06514805) × R
    0.000191750000000004 × 0.997878616260019 × 6371000     		do = 1219.04768435896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04160923-0.04180098) × cos(0.06495671) × R
    0.000191750000000004 × 0.997891054605266 × 6371000     		du = 1219.06287952971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.06514805)-sin(0.06495671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997878616260019-0.997891054605266)×R²
    abs(0.04180098-0.04160923)×1.24383452470012e-05×R²
    0.000191750000000004×1.24383452470012e-05×6371000²
    0.000191750000000004×1.24383452470012e-05×40589641000000     		ar = 1486061.47838426m²