Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1660 / 1916
↖ ↑ ↗
← S 82.586106°
E111.796875°		 ← 2 522.14 m → S 82.586106°
E111.972656°		 →
↑
2 518.33 m
↓
↑
2 518.33 m
↓
S 82.608754°
E111.796875°		 ← 2 514.47 m →
6 341 919 m²		 S 82.608754°
E111.972656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810791015625 y=0.935791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810791015625 × 211)
    floor (0.810791015625 × 2048)
    floor (1660.5)     		tx = 1660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.935791015625 × 211)
    floor (0.935791015625 × 2048)
    floor (1916.5)     		ty = 1916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1660 / 1916 ti = "11/1660/1916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1660/1916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1660 ÷ 211
    1660 ÷ 2048     		x = 0.810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1916 ÷ 211
    1916 ÷ 2048     		y = 0.935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810546875 × 2 - 1) × π
    0.62109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95122356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.935546875 × 2 - 1) × π
    -0.87109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.73662172550977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95122356} λ = 1.95122356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.73662172550977))-π/2
    2×atan(0.0647888521264191)-π/2
    2×0.0646984272958243-π/2
    0.129396854591649-1.57079632675     		φ = -1.44139947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95122356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44139947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.586106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1660 KachelY 1916 1.95122356 -1.44139947 111.796875 -82.586106
    Oben rechts KachelX + 1 1661 KachelY 1916 1.95429152 -1.44139947 111.972656 -82.586106
    Unten links KachelX 1660 KachelY + 1 1917 1.95122356 -1.44179475 111.796875 -82.608754
    Unten rechts KachelX + 1 1661 KachelY + 1 1917 1.95429152 -1.44179475 111.972656 -82.608754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44139947--1.44179475) × R
    0.000395279999999998 × 6371000     		dl = 2518.32887999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44139947--1.44179475) × R
    0.000395279999999998 × 6371000     		dr = 2518.32887999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95122356-1.95429152) × cos(-1.44139947) × R
    0.00306795999999987 × 0.129036065258056 × 6371000     		do = 2522.13546820587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95122356-1.95429152) × cos(-1.44179475) × R
    0.00306795999999987 × 0.128644079767373 × 6371000     		du = 2514.47373032587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44139947)-sin(-1.44179475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.129036065258056-0.128644079767373)×R²
    abs(1.95429152-1.95122356)×0.000391985490683228×R²
    0.00306795999999987×0.000391985490683228×6371000²
    0.00306795999999987×0.000391985490683228×40589641000000     		ar = 6341919.28354992m²