Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16591 / 11057
↖ ↑ ↗
← N 50.394512°
E  2.274170°		 ← 778.79 m → N 50.394512°
E  2.285156°		 →
↑
778.85 m
↓
↑
778.85 m
↓
N 50.387508°
E  2.274170°		 ← 778.91 m →
606 611 m²		 N 50.387508°
E  2.285156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506332397460938 y=0.337448120117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506332397460938 × 215)
    floor (0.506332397460938 × 32768)
    floor (16591.5)     		tx = 16591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337448120117188 × 215)
    floor (0.337448120117188 × 32768)
    floor (11057.5)     		ty = 11057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16591 / 11057 ti = "15/16591/11057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16591/11057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16591 ÷ 215
    16591 ÷ 32768     		x = 0.506317138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11057 ÷ 215
    11057 ÷ 32768     		y = 0.337432861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.506317138671875 × 2 - 1) × π
    0.01263427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.03969175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337432861328125 × 2 - 1) × π
    0.32513427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.02143945710416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03969175} λ = 0.03969175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02143945710416))-π/2
    2×atan(2.77718953332829)-π/2
    2×1.22517324375621-π/2
    2.45034648751242-1.57079632675     		φ = 0.87955016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03969175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.274170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87955016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.394512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16591 KachelY 11057 0.03969175 0.87955016 2.274170 50.394512
    Oben rechts KachelX + 1 16592 KachelY 11057 0.03988350 0.87955016 2.285156 50.394512
    Unten links KachelX 16591 KachelY + 1 11058 0.03969175 0.87942791 2.274170 50.387508
    Unten rechts KachelX + 1 16592 KachelY + 1 11058 0.03988350 0.87942791 2.285156 50.387508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87955016-0.87942791) × R
    0.00012224999999999 × 6371000     		dl = 778.854749999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87955016-0.87942791) × R
    0.00012224999999999 × 6371000     		dr = 778.854749999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03969175-0.03988350) × cos(0.87955016) × R
    0.000191750000000004 × 0.637497788898486 × 6371000     		do = 778.792320706622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03969175-0.03988350) × cos(0.87942791) × R
    0.000191750000000004 × 0.637591971914127 × 6371000     		du = 778.907378375214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87955016)-sin(0.87942791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637497788898486-0.637591971914127)×R²
    abs(0.03988350-0.03969175)×9.41830156419021e-05×R²
    0.000191750000000004×9.41830156419021e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.41830156419021e-05×40589641000000     		ar = 606610.905607476m²