Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16591 / 11036
↖ ↑ ↗
← N 50.541363°
E  2.274170°		 ← 776.38 m → N 50.541363°
E  2.285156°		 →
↑
776.43 m
↓
↑
776.43 m
↓
N 50.534380°
E  2.274170°		 ← 776.49 m →
602 850 m²		 N 50.534380°
E  2.285156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506332397460938 y=0.336807250976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506332397460938 × 215)
    floor (0.506332397460938 × 32768)
    floor (16591.5)     		tx = 16591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336807250976562 × 215)
    floor (0.336807250976562 × 32768)
    floor (11036.5)     		ty = 11036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16591 / 11036 ti = "15/16591/11036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16591/11036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16591 ÷ 215
    16591 ÷ 32768     		x = 0.506317138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11036 ÷ 215
    11036 ÷ 32768     		y = 0.3367919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.506317138671875 × 2 - 1) × π
    0.01263427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.03969175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3367919921875 × 2 - 1) × π
    0.326416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02546615667224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03969175} λ = 0.03969175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02546615667224))-π/2
    2×atan(2.78839498657879)-π/2
    2×1.22645475948246-π/2
    2.45290951896491-1.57079632675     		φ = 0.88211319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03969175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.274170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88211319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.541363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16591 KachelY 11036 0.03969175 0.88211319 2.274170 50.541363
    Oben rechts KachelX + 1 16592 KachelY 11036 0.03988350 0.88211319 2.285156 50.541363
    Unten links KachelX 16591 KachelY + 1 11037 0.03969175 0.88199132 2.274170 50.534380
    Unten rechts KachelX + 1 16592 KachelY + 1 11037 0.03988350 0.88199132 2.285156 50.534380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88211319-0.88199132) × R
    0.000121869999999968 × 6371000     		dl = 776.433769999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88211319-0.88199132) × R
    0.000121869999999968 × 6371000     		dr = 776.433769999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03969175-0.03988350) × cos(0.88211319) × R
    0.000191750000000004 × 0.635521005097655 × 6371000     		do = 776.377404026763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03969175-0.03988350) × cos(0.88199132) × R
    0.000191750000000004 × 0.635615094203651 × 6371000     		du = 776.492346971646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88211319)-sin(0.88199132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635521005097655-0.635615094203651)×R²
    abs(0.03988350-0.03969175)×9.40891059968418e-05×R²
    0.000191750000000004×9.40891059968418e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.40891059968418e-05×40589641000000     		ar = 602850.258289769m²